Построение эллипса

[Lion]

Предлагаю такую задачу на построение эллипса.
Пусть задан эллипс С и замкнутая нить, длина которой строго больше длины С. Тогда если охватить С нитью и натягивать ее с помощью иглы, то острие иглы опишет эллипс, софокусный с С.

[Юстас]

Как мне кажется, единственный разумный подход - перевести эллипс в окружность, тогда фигура описываемая иглой перейдет в окружность с тем же центром. Нужно строго обосновать перестановочность сжатия и процесса построения фигуры, что выглядит довольно проблематично , как и всё связанное с длинами дуг эллипса.

[Юстас]

Могу предложить еще такую интерпретацию, как мне кажется более строгую.
Заметим, что если рассматривать приближения исходного эллипса вписанными многоугольниками и проводить с ними указанное в условии построение, то описываемые иглой кривые будут состоять из дуг эллипсов. Пусть игла находится в точке А. Рассмотрим эллипс с фокусами в точках касания нити и исходного эллипса(этот эллипс можно провести, закрепив нить дополнительно в точках касания). Касательная к нашей кривой в точке А в силу проведенного выше рассуждения совпадет с касательной к эллипсу в точке А. Теперь соединим точку А отрезком с центром исходного эллипса, пусть точка пересечения исходного эллипса и этого отрезка есть В. Докажем, что касательная к эллипсу в точке В параллельна касательной, проведенной к нашей кривой в точке А. Это становится очевидно, если перевести аффинно эллипс в окружность, так как параллельность сохраняется. Их всего вышесказанного следует, что описанная иглой кривая будет эллипсом, софокусным исходному, так как касательные к этой кривой параллельны соответствующим касательным эллипса и следовательно образуют равные углы с проведенными в точку касания фокальными радиусами.
Без рисунков решение таких задач конечно же довольно коряво выглядит, так что без карандаша понять будет наверное сложно.

[Lion]

Очень интересное решение, только поясните, пожалуйста, следующую Вашу фразу:

Цитата:

Рассмотрим эллипс с фокусами в точках касания нити и исходного эллипса(этот эллипс можно провести, закрепив нить дополнительно в точках касания). Касательная к нашей кривой в точке А в силу проведенного выше рассуждения совпадет с касательной к эллипсу в точке А.

Непонятно, как доказано савпадение касательных.
И еще мне неясно, как доказана софокусность. Если я правильно Вас понял, Вы говорите. что при аффинном преобразовании мы переводим исходный эллипс в окружность, и тогда фигура, описываемая иглой, перейдет в огибающую для семейства прямых, параллельных касательным к полученной окружности, т.е. в окружность. Отсюда следует, что прообраз действительно эллипс, причем у него тот же центр, что и исходного. Но откуда следует софокуснось?

[Юстас]

Как я написал вначале, исходный эллипс можно рассматривать как многоугольник с очень маленькими сторонами, а это тоже самое что считать, что нить на очень короткий промежуток времени фиксируют в точках касания, тогда игла опишет маленькую дужку эллипса, отсюда я делаю вывод о совпадении касательных.
Софокусность можно показать двумя способами: можно непосредственно показать, что фокальные радиусы(проведенные из фокусов исходного эллипса) образуют равные углы с касательной к внешнему эллипсу, откуда будет следовать совпадение фокусов, а можно, зафиксировав какую-то точку на внешнем эллипсе, провести через нее эллипс, софокусный с исходным, и заметить, что он будет огибающей для того же самого семейства прямых.

[Lion]

Спасибо, все понял. Благодарю Вас за красивое решение ( ). Решение, известное мне, гораздо труднее и длиннее...

[venco]

Юстас в сообщении #44429 писал(а):

Софокусность можно показать двумя способами: можно непосредственно показать, что фокальные радиусы(проведенные из фокусов исходного эллипса) образуют равные углы с касательной к внешнему эллипсу, откуда будет следовать совпадение фокусов, а можно, зафиксировав какую-то точку на внешнем эллипсе, провести через нее эллипс, софокусный с исходным, и заметить, что он будет огибающей для того же самого семейства прямых.

Хмм... Что-то у меня внешняя кривая не получается кофокусным эллипсом.
По крайней мере, углы между новой касательной и радиусами к оригинальным фокусам не одинаковы.