Интеграл из теории вероятностей

[Sate]

$$\int\limits_{-\infty}^{+\infty} x^k e^{\frac{-(x-a)^2} {2{\sigma}^2}} dx$$

как тут быть?

[ИСН]

гамма-функ

[Sate]

понятно, что она где-то вылазит)
а как привести данный интеграл к гамма-функции?

[ИСН]

сложно. там сумма такая будет...
Слушайте, посчитайте сначала центральные моменты. С ними легче. А эти потом через них.

[Sate]

$$\frac{1} {\sqrt{2\pi}\sigma}\int\limits_{-\infty}^{+\infty} (x-a)^k e^{\frac{-(x-a)^2} {2{\sigma}^2}} dx = {\sigma}^k(k-1)!!$$

это для четных k, для нечетных получается ноль в силу нечетности функции, которая в расчётах вылазит.
а дальше как?

[ИСН]

а дальше $x^n$ представляем по биному Ньютона как $\Big((x-a)+a\Big)^n$ и сводим ту задачу к этой.

[Sate]

большое спасибо :)