Общий вид цепочки преобразований унимод-й матрицы к единично

[Sonic86]

Каков общий вид цепочки преобразований унимодулярной матрицы $2 \times 2$ к единичной в простейшем случае? У меня громоздко вышло.
Элементарные преобразования - $f_1, f_2, i_1, i_2$:
$i_j$ - умножение $j$-й строки на $-1$, $f_j$ - прибавление $j$-й строки к $3-j$-й (можно брать $f_j^{-1}$).
У меня вышло:

$$\left[ \begin{array}{ll} F= i_1^{e_1}i_2^{e_2} \Prod f_j i_2^{e_3}f_2^r i_1 \\ F= i_1^{e_1}i_2^{e_2} f_1^r f_2^{-1}f_1i_2 f_2 \end{array} $$

$e_k \in \{ 0;1 \}$
Очень нужно проще, чем это. Хотя бы чтобы единая формула была.

[nnosipov]

Может, имеет смысл посмотреть как это сделано у Гаусса? Я когда-то смотрел книгу: Карл Фридрих Гаусс. К 200-летию со дня смерти. АН СССР, 1956 (под ред. И.М. Виноградова). Или в его "Труды по теории чисел" заглянуть (томик, конечно, на 900 стр., но зато много чего можно найти).

[Sonic86]

Ммм, Труды по теории у меня есть, только придется искать и перешифровывать, а вот к 200-хлетию сейчас поищу.

-- Вс май 08, 2011 19:49:38 --

Блин, гугл не знает, в КолХозе нету. Полезу в томик...

[nnosipov]

Sonic86 в сообщении #443594 писал(а):

Ммм, Труды по теории у меня есть, только придется искать и перешифровывать, а вот к 200-хлетию сейчас поищу.

-- Вс май 08, 2011 19:49:38 --

Блин, гугл не знает, в КолХозе нету. Полезу в томик...

В колхозе точно есть, DVD 23. У меня в данный момент только каталог, поэтому переслать саму книгу не могу.

[Sonic86]

nnosipov писал(а):

В колхозе точно есть, DVD 23.

ого! уже 23 диска стало! У меня только 5-12.
Попробую сам подумать еще...

[nnosipov]

Sonic86 в сообщении #443609 писал(а):

nnosipov писал(а):

В колхозе точно есть, DVD 23.

ого! уже 23 диска стало! У меня только 5-12.
Попробую сам подумать еще...

Обрадую Вас ещё больше --- уже есть (и давно) 36 колхозных дисков (5-40). Нужно следить за обновлениями

[Sonic86]

Кошмар! Я и эти 7 не прочитаю за всю жизнь, даже если только этим и буду заниматься!

Кажется, я нашел, то, что мне нужно. И затупил, что сразу не увидел. Группа преобразований $<i_1,i_2,f_1,f_2>$ есть $SL_2(\mathbb{Z})$. В Куроше Теория группа дается $PSL_2(\mathbb{Z}) \cong Z_2 * Z_3$, а в Богопольском $SL_2(\mathbb{Z}) \cong Z_4 *\limits_{Z_2} Z_6$. Только там образующие другие. Попробую использовать это.

[nnosipov]

Sonic86 в сообщении #443618 писал(а):

Кошмар! Я и эти 7 не прочитаю за всю жизнь, даже если только этим и буду заниматься!

Как говорит один мой коллега, "хорошую книгу не обязательно читать, её достаточно иметь"

[Sonic86]

(Оффтоп)

nnosipov писал(а):

Как говорит один мой коллега, "хорошую книгу не обязательно читать, её достаточно иметь"

Я просто предпочитаю, чтобы у меня было все в голове, иначе книга бесполезна. Только если она не справочник. Фихтенгольц, например, это не справочник. Ее нужно иметь в голове. Там подавляющее большинство книг - не справочники. Даже если только математику взять Меня такой объем знаний раньше просто раздавливал.

[Sonic86]

Проверьте мои рассуждения, пожалуйста! Задание вроде простое, но я с непривычки сомневаюсь + у меня вывод отрицательный, в книжке такого нет.

Есть некоторое множество преобразований, порождающее $PSL_2 ( \mathbb{Z} )$ (в примере выше это было $\{ i_1, i_2, f_1, f_2 \}$). $H$ - подгруппа группы преобразований, сохраняющая элементы из $PSL_2 ( \mathbb{Z} )$. Нужно найти ее базис. Базис строится через шрайерову систему представителей $T$ (трансверсаль) с функцией выбора представителя класса $\varphi$ и базис $S$ группы $PSL_2 ( \mathbb{Z} )$:
$B= \{ ts \varphi(ts)^{-1}, s \in S, t \in T \}$
В Куроше находим, что $PSL_2 ( \mathbb{Z} )/H = Z_2 * Z_3 = <d,u | d^2,u^3>$, значит берем $S = \{ d,u \}$, и любой элемент фактор-группы имеет вид
$d^au^{c_1}d...du^{c_r}d^b$
, где $a, b \in \{0;1\}, c_j \neq 0$. (фактор-группа бесконечна, $H$ имеет бесконечный индекс). Множество этих элементов - шрайерова трансверсаль. Каждый представитель смежного класса $PSL_2 ( \mathbb{Z} )$ по $H$ должен иметь такой вид
$ts \varphi (ts)^{-1} \neq 1 \Leftrightarrow \varphi (ts) \neq ts$ - это выполняется, когда $ts$ сокращается на конце, т.е. при $s=d, b=1 \vee s=u, b=0, c_r=2$. Но тогда, обозначив $w=d^au^{c_1}du^{c_2}d \dots du^{c_r}$ в 1-м случае и $w=d^au^{c_1}du^{c_2}d \dots d$ во 2-м случае, мы получим, что $ts \varphi(ts)^{-1} = wd^2w^{-1}$ или $wu^2w^{-1}$. То есть базис составляют элементы вида $wd^2w^{-1}, wu^2w^{-1}$, $w$ имеет вид представителя смежного класса. Но это описание почти не отличается от описания нормального замыкания подгруппы $<d,u | d^2 , u^3>$. Это правильно? То есть получается, что процедура поиска базиса не всегда дает нетривиальный ответ?