Задачки с полиномами

[Dan B-Yallay]

1) Пусть дано $ p \in \mathbb {Z} $ простое и полином $ f = a_nx^n + . . . + a_1x \pm p$ так что

$$\sum\limits_{i=1}^n |a_i| < p $$

. Доказать что $ f $ неприводим в $ \mathbb {Q}[x]$

2) Даны два полинома над полем рациональных чисел такие что их произведение - полином с целыми коэффициентами. $f,g \in \mathbb {Q}[x] , fg \in \mathbb {Z}[x]$. Показать целочисленность произведения любых коеффициентов из $f$ на коэффициенты $g$

[RIP]

2) Используйте лемму Гаусса:
Для $P(x)\in\mathbb{Z}[x]$ обозначим через $cont(P)$ Н.О.Д. коэффициентов многочлена $P$. Тогда для любых ненулевых целочисленных полиномов $P$ и $Q$ $cont(PQ)=cont(P)\cdot cont(Q).$

1) Используя лемму Гаусса, легко доказать следующее утверждение:
Пусть $P(x)\in\mathbb{Z}[x]$ и $P(x)$ приводим над $\mathbb{Q}$, $P(x)=Q(x)R(x),\ Q,R\in\mathbb{Q}[x]$. Тогда найдутся такие рациональные числа $a,b$, что $P(x)=(aQ(x))\cdot(bR(x))$ и многочлены $aQ(x)$ и $bR(x)$ имеют целые коэффициенты.
По смыслу задачи $a_j\in\mathbb{Z}.$ Если допустить, что $f$ приводим, то существует разложение $f=gh$, где $g,h$ имеют целые коэффициенты. Сравнивая младшие коэффициенты слева и справа, получаем, что у одного из $g,h$ младший коэффициент равен $\pm1$, а у другого $\pm p$. Пусть $g(0)=\pm1$. Применяя теорему Виета, получаем, что $g$ имеет корень в круге $\{z\in\mathbb{C}\mid|z|\leqslant1\}$ (т.к. произведение всех корней по модулю не превосходит 1). Но очевидно, что $f(x)$ не имеет корней в круге $\{z\in\mathbb{C}\mid|z|\leqslant1\}$.

[Dan B-Yallay]

Спасибо за подсказку, но мне непонятно следующее:

2) Как использовать лемму Гаусса в кольце полиномов над рациональными числами? Или как всегда что-то очевидное путаю/не вижу...

1) <<<<<По смыслу задачи $a_j\in\mathbb{Z}.$ Если допустить, что $f$ приводим, то существует разложение $f=gh$, где $g,h$ имеют целые коэффициенты.>>>>

Почему $g,h$ должны иметь целочисленные коэффициенты, если мы доказываем неприводимость над рац числами?

[RIP]

Dan B-Yallay писал(а):

Спасибо за подсказку, но мне непонятно следующее:

2) Как использовать лемму Гаусса в кольце полиномов над рациональными числами? Или как всегда что-то очевидное путаю/не вижу...

Достаточно домножить $f$ и $g$ на подходящие числа, чтобы перейти к целочисленным многочленам.

Dan B-Yallay писал(а):

1) <<<<<По смыслу задачи $a_j\in\mathbb{Z}.$ Если допустить, что $f$ приводим, то существует разложение $f=gh$, где $g,h$ имеют целые коэффициенты.>>>>

Почему $g,h$ должны иметь целочисленные коэффициенты, если мы доказываем неприводимость над рац числами?

Посмотрите утверждение в самом начале 1)

[Dan B-Yallay]

Спасибо, что-то кажется проясняется