Диф уравнения

[vlad_light]

Задачка#1:
Пускай, темп падения уровня продаж будет константой:
$\frac{1}{S}\frac{dS}{dt}=-\lambda$
когда нет предложения.
Также темп повышения уровня продаж пропорционален предложению:
$\frac{dS}{dt}=rA(t)(1-\frac{S(t)}{M})-\lambda S(t)$
где $r,\lambda,M$ положительные константы.
Покажите, что если уровень предложения:
$A(t)=\left\{ \begin{array}{l}K, 0<t<T\\0,t>T\end{array} \right.$
то:
$S(t)=\left\{ \begin{array}{l}S(0)e^{-(\lambda+rK/M)t}+\frac{rK}{\lambda+rK/M}(1-e^{-(\lambda+rK/M)t}), 0<t<T\\S(T)e^{-\lambda(t-T)},t>T\end{array} \right.$
Когда продажи $S(t)$ снова упадут до $S(0)$?
Как делал я:
Я подставил $0$ вместо $A(t)$:
$\frac{dS}{dt}=-\lambda S(t)$. Тогда:
$\int \frac {dS}{S}=\int_T^t -\lambda ds$
$S(t)=e^{-\lambda(t-T)}$
Вопрос: откуда там ещё взялось $S(T)$?
Для первого варианта:
$\frac{dS}{dt}=rK(1-\frac{S(t)}{M})-\lambda S(t)$
$\frac{dS}{dt}=S(t)(-\lambda -\frac{rK}{M})+rK$
$S(t)=u(t)v(t), S'(t)=u'(t)v(t)+u(t)v'(t)$
$u'(t)v(t)+u(t)(v'(t)+(\lambda+\frac{rK}{M})v(t))=rK$
$\int \frac{dv}{v}=\int_0^t -(\lambda+\frac{rK}{M})dt, v(t)=e^{-(\lambda+\frac{rK}{M})t}$
$u'(t)=rKe^{(\lambda+\frac{rK}{M})t}$
$\int du=\int_0^t rKe^{(\lambda+\frac{rK}{M})t}dt$
$u(t)=\frac{rK}{\lambda+\frac{rK}{M}}(e^{(\lambda+\frac{rK}{M})t}-1)$
$S(t)=\frac{rK}{\lambda+\frac{rK}{M}}(e^{(\lambda+\frac{rK}{M})t}-1)e^{-(\lambda+\frac{rK}{M})t}$
$S(t)=\frac{rK}{\lambda+\frac{rK}{M}}(1-e^{-(\lambda+\frac{rK}{M})t})$
Вопрос: откуда там взялось ещё $S(0)e^{-(\lambda+rK/M)t}$
Вопрос: как будет выглядеть график $S(t)$?
Задачка #2:
$\frac{1}{1-x}=\sum_{n=0}^\infty x^n, |x|<1$
Разложить: $\frac {a}{1+be^{-ct}}$, где $a,b,c$ - положительные константы.
Как делал я:
$\frac {a}{1+be^{-ct}}=\frac {a}{1-(-be^{-ct})}=a\sum_{n=0}^\infty (-be^{-ct})^n, |-be^{-ct}|<1 \Rightarrow t>-\frac{1}{c}ln\frac{1}{b}$
Нужно доказать, что интеграл сходится и найти: $I_M=\int_0^M \frac {a}{1+be^{-ct}}e^{-rt}dt$, а также $lim_{M\to\infty}I_M$

(Оффтоп)

(Тут я не разобрался)

Помогите, пожалуйста!

[vlad_light]

С первой задачей разобрался.
Помогите, пожалуйста, с разложением и интегралом!
Спасибо!
----
Я доказал, что интеграл $I_M$ сходится. Осталось посчитать сам интеграл и его предел при $M\to \infty$
В остальном разобрался!