Матфизика(задача Штурма-Лиувилля)

[ИСН]

Tomogochi, там были ещё буковки. Рядом, сверху, снизу, слева, справа, на предыдущей странице, не знаю где, но были. Обязательно.

[Tomogochi]

В том-то и дуло,что больше ничего не было. Поэтому я и прошу совета. Ведь я же не дурочка совсем, я решаю сама всякие задания, а на этом застопорилась.
А Вас почитаешь всех, такое ощущение, что все родились со знаниями всех предметов и никогда ничему не учились, не ошибались и не спрашивали у кого-то совета...
Вот задание(под номером 5), как видите, больше никаких функций и уравнений не дано.

[Munin]

Полный финиш.
Вариант один, идти к преподавателю, и говорить "а у меня вариант неправильный, у всех нормальное задание, а у меня чёрт-те-что". Пускай даст другое.

[Tomogochi]

Это уже пройденный этап. Сказал, что ничего смотреть не будет.Если дал, то он решаем. Как говорится, преподаватель всегда прав.(с)
А если исходить из того, что я буду рассматривать уравнение $y''$+λy=0 там то решение будет таким:
Проверим выполнение равенства$y(a)=y(b)=0: y(5)=25-25=0, y(0)=0-25=-25, y(0)<y(5)$-первое краевое условие не выполняется, значит, функция не имеет собственных значений и не является собственной.
Верно? или я совсем не туда пошла?

[Munin]

Tomogochi в сообщении #442697 писал(а):

Это уже пройденный этап. Сказал, что ничего смотреть не будет.Если дал, то он решаем. Как говорится, преподаватель всегда прав.(с)

Тогда вешаться. Потому что в других вариантах, видите, есть буковка $U.$ А у вас нету.

[Tomogochi]

Нет-нет, Munin, это не другие варианты, это другие задания. Эти задания я уже решила(там совершенно другие темы рассматриваются, например, в 6-ом задание было решить ур-ие в частных производных. Так что связи в заданиях нет). Кстати, сейчас посмотрела, у всех вариантов одинаковое задание, только разные функции y. Получается, что дело не в варианте.

[svv]

Ну и Вы поверьте, что решать без этого U -- все равно, что пытаться вскипятить чайник без воды.
Хорошо, что Вы привели скан. Видно, что отсутствие U -- дефект задания 5, так как тема предполагает наличие оператора (попросту -- уравнения).

Tomogochi писал(а):

Показать, что функция у является собственной функцией задачи Штурма-Лиувилля и найти собственные числа.

Вот именно так и было написано? И именно для задания 5? Проверьте еще раз.

[Tomogochi]

Да, именно так и было. Передо мной задание лежит, там именно так, как я написала. Ну, видимо, придётся оставить без решения. Бывают в жизни огорчения...
Спасибо за внимание всем.

[svv]

Tomogochi, если вопрос прояснится (например, с помощью преподавателя), напишите, OK? Просто интересно.

[Tomogochi]

Да, хорошо, напишу, если прояснится. Мне самой интересно

[Munin]

Tomogochi в сообщении #442706 писал(а):

Кстати, сейчас посмотрела, у всех вариантов одинаковое задание, только разные функции y.

Я сразу так и понял. Только не "разные функции y", а разные уравнения и гранусловия - то есть разные задачи Штурма-Лиувилля.

Tomogochi в сообщении #442706 писал(а):

Получается, что дело не в варианте.

В варианте. В нём катастрофическая опечатка. После которой восстановить условие невозможно.

[mascom]

Всем привет!

Не могу решить задачу Штурма-Лиувилля (пытаюсь сделать при помощи характеристического многочлена, но прихожу только к нулевому решению).

Вот сама задача:

$y''+8y'=\lambda y$
$y(2)=y(4)=0$

Помогите пожалуйста!

-- 13.06.2011, 15:26 --

Вот что у меня получается:

Характеристическое уравнение:

$\alpha^2+8 \alpha - \lambda=0$
$\alpha_{1,2} = \frac {-8\pm \sqrt{64+4\lambda}}{2}=-4 \pm \sqrt{16+\lambda}$
Общее решение:
$y=c_1 e^{(-4+ \sqrt{16+ \lambda})x} + c_2 e^{(-4-\sqrt{16+\lambda})x}$
Подставляем гран.условия:
$y(2)=y(4)=0$
$c_1 e^{-8+2 \sqrt{16+\lambda}} = -c_2 e^{-8-2\sqrt{16+\lambda}}$
$c_1 e^{-16+4 \sqrt{16+\lambda}} = -c_2 e^{-16-4\sqrt{16+\lambda}}$
Т.е.
$-\frac {c_1} {c_2} e^{4\sqrt{16+\lambda}}=1$
$-\frac {c_1} {c_2} e^{8\sqrt{16+\lambda}}=1$
Делим одно на другое и получается
$e^{4\sqrt{16+\lambda}}=1$
откуда $\lambda=-16$ глупо...

-- 13.06.2011, 15:36 --

Tomogochi в сообщении #442686 писал(а):

В том-то и дуло,что больше ничего не было. Поэтому я и прошу совета. Ведь я же не дурочка совсем, я решаю сама всякие задания, а на этом застопорилась.
А Вас почитаешь всех, такое ощущение, что все родились со знаниями всех предметов и никогда ничему не учились, не ошибались и не спрашивали у кого-то совета...
Вот задание(под номером 5), как видите, больше никаких функций и уравнений не дано.

Возможно я сообщу очевидный факт, но в ваших условиях нет вопроса, там написано верное утверждение.
Если требуется решение уравнения в полных производных - оно тоже написано в условиях.
И да, наверное я опоздал немножко.

[Tomogochi]

mascom, ну, опоздать-то вы не опоздали-не на поезд ведь спешим
Преподаватель так и не дал мне ответа на мой вопрос о решении.

[mascom]

По поводу поезда - кому как.

Тут ещё другая идея возникла по решению:

поделим исходное уравнение на $y'$

$\frac{y''}{y'}-\frac{\lambda y}{y'}=-8$ это можно записать в следующем виде

$(\operatorname{Ln} y')'-(\operatorname{Ln} y^\lambda)'=-8$ или

$(\operatorname{Ln} \frac {y'} {y^\lambda})'_x=-8$

$d(\operatorname{Ln} \frac {y'} {y^\lambda})=-8dx$ проинтегрируем:

$\operatorname{Ln}\frac {y'}{y^lambda}=-8 x +c_1$ И ещё раз:

$\frac{dy}{y^\lambda}=e^{-8x+c_1}dx$

$\frac{y^{1-\lambda}}{1-\lambda}=\frac{e^{-8x+c_1}}{-8}+c_2$ Т.е.

$y=[(1-\lambda)(\frac{e^{-8x+c_1}}{-8}+c_2)]^{\lambda-1}$ подставив гран.условия:

$[(1-\lambda)(c_2-\frac{e^{c_1-16}}{8})]^{\lambda-1}=[(1-\lambda)(c_2-\frac{e^{c_1-32}}{8})]^{\lambda-1}=0$ те же яйца, только в профиль...

[ewert]

mascom в сообщении #457375 писал(а):

Не могу решить задачу Штурма-Лиувилля (пытаюсь сделать при помощи характеристического многочлена, но прихожу только к нулевому решению).

Вот сама задача:

$y''+8y'=\lambda y$
$y(2)=y(4)=0$

Это не задача Штурма-Лиувилля. Формулировка безграмотна: дифуравнение записано не в дивергентной форме (и к тому же перед второй производной не стоит минуса, но это уже не принципиально).

Практически наверняка восьмёрка умножается на саму функцию, а не на производную.