Что за зверь: сигнатура квадратичной формы

[b099ard]

Сигнатура квадратичной формы (разность между положительным и отрицательным индексом инерции) и как ее находить, в интеренете ничего кроме определения не нашел и уже тем более не нашел примеров нахождения.

[ewert]

Есть такой медицинский факт: каким бы линейным преобразованием ни приводить квадратичную форму к сумме чистых квадратов -- количество положительных, нулевых и отрицательных членов перед теми квадратами останутся неизменными. А вовсе не какая-то там разность. Вот именно этот набор:: количество плюсов, количество минусов и (соотв) к-во нулей -- и называется сигнатурой.

[bot]

Так уж склалось, что сигнатурой действительно называют разницу между положительным и отрицательным индексами инерции.
Инвариантны при невырожденных преобразованиях оба индекса инерции, ранг и сигнатура. Инвариантность двух последний влекут за собой инвариантность двух первых.

[Munin]

bot в сообщении #442144 писал(а):

Так уж склалось, что сигнатурой действительно называют разницу между положительным и отрицательным индексами инерции.

Возможно, в разных жаргонах по-разному. Я видел, как сигнатурой называли именно пару чисел.

[b099ard]

ewert в сообщении #441668 писал(а):

Есть такой медицинский факт: каким бы линейным преобразованием ни приводить квадратичную форму к сумме чистых квадратов -- количество положительных, нулевых и отрицательных членов перед теми квадратами останутся неизменными. А вовсе не какая-то там разность. Вот именно этот набор:: количество плюсов, количество минусов и (соотв) к-во нулей -- и называется сигнатурой.

А порядок имеет значение, допустим сначала плюсы, потом минусы, потом нули или все равно?

Я так понимаю правильным ответом на такой вопрос будет три числа, допустим 5,3,7
5 плюсов, 3 минуса, 7 нулей :)



-- Чт май 05, 2011 18:44:22 --

bot в сообщении #442144 писал(а):

Так уж склалось, что сигнатурой действительно называют разницу между положительным и отрицательным индексами инерции.
Инвариантны при невырожденных преобразованиях оба индекса инерции, ранг и сигнатура. Инвариантность двух последний влекут за собой инвариантность двух первых.

Ну раз "разница между индексами", тогда сразу вопросы:
А сколько индексов?
Лучше конечно почитать на этот счет :), но почему их всегда больше или равно двум?
А если их 8? Тогда разниц будет 4, а это протеворечит предыдущему посту, так как правильно будет?
И половина из них обязательно с противоположным знаком другой половине?

И так и не понятно как находить эту сигнатуру, просто посчитать числа?

[ewert]

b099ard в сообщении #442316 писал(а):

А порядок имеет значение, допустим сначала плюсы, потом минусы, потом нули или все равно?

Естественно, не имеет: порядок -- это лишь вопрос перенумерации переменных.

-- Чт май 05, 2011 18:53:11 --

Munin в сообщении #442243 писал(а):

Я видел, как сигнатурой называли именно пару чисел.

Нас учили, что это именно набор чисел. А какая польза для сельского хозяйства от просто разности -- не очень понимаю.

[bot]

ewert в сообщении #442321 писал(а):

А какая польза для сельского хозяйства от просто разности -- не очень понимаю.

Дело вкуса, какую брать пару: $\sigma=i^+-i^-,\ r=i^++i^-$, а $n$ и так видно.

[ewert]

да, можно, может, и всё; но какая польза для сельского-то хозяйства?...

[alex1910]

ewert в сообщении #442378 писал(а):

да, можно, может, и всё; но какая польза для сельского-то хозяйства?...

Сельское хозяйство не заморачивается вырожденными формами, так что в разности содержится вся информация о сигнатуре (невырожд. формы).

[ewert]

alex1910 в сообщении #442384 писал(а):

Сельское хозяйство не заморачивается вырожденными формами,

Очень даже заморачивается: параболы (и, соотв., параболические дифуры типа теплопроводности) имеют дело как раз с вырожденными формами.

А вот в чём, скажем, практическая разница между сигнатурами типа (1,1) и (-1,-1) -- понять не так просто.

[Munin]

Отрицательный ранг? Месье знает толк в извращениях...

[ewert]

Munin в сообщении #442403 писал(а):

Отрицательный ранг?

При чём тут ранг-то ваще.

[alex1910]

ewert в сообщении #442387 писал(а):

alex1910 в сообщении #442384 писал(а):

Сельское хозяйство не заморачивается вырожденными формами,

Очень даже заморачивается: параболы (и, соотв., параболические дифуры типа теплопроводности) имеют дело как раз с вырожденными формами.

А вот в чём, скажем, практическая разница между сигнатурами типа (1,1) и (-1,-1) -- понять не так просто.

Ewert, во-первых, включите чувство юмора.
Во-вторых, не вы один видели параболу:)

Надеюсь, без обид.

[ewert]

alex1910 в сообщении #442406 писал(а):

Ewert, во-первых, включите чувство юмора.

Я пытаюсь, но получается не всегда. Вот и в этом случае -- не понял, в чём шутка юмору.

[Munin]

ewert в сообщении #442405 писал(а):

При чём тут ранг-то ваще.

Если у квадратичной формы -1 плюс и -1 минус, получается, у неё ранг -2.