Как проверить -- являются ли две прямые скрещивающимися

[zhekas]

Прямая задаётся начальной точкой и направляющим вектором. Поэтому прежде всего находим начальную точку и вектор у обоих прямых.

$x_0$ и $a$ у одной прямой
$x_1$ и $b$ у другой

Прямые будут скрещивающимеся, если веукторы $a$, $b$ и $x_0x_1$ - независимы. То есть определитель составленный из их координат не равен 0.

Чтобы найти расстояние между двумя скрещивающимися прямыми, через первую прямую проводим плоскость параллельную второй. Эта плоскость проведена через $x_0$ и направляющие векторы $a$ и $b$.

А теперь находим расстояние между второй прямой и этой плоскостью оно и будет искомым

[integral2009]

zhekas в сообщении #441686 писал(а):

Прямая задаётся начальной точкой и направляющим вектором. Поэтому прежде всего находим начальную точку и вектор у обоих прямых.

Спасибо, попробую сделать на этом примере!

$$\begin{cases} x=t-1\\ y=-t+3\\ z=4t-5\\ \end{cases}$$

$$\begin{cases} 2x-3y+z=5\\ x+y-5z=4 \\ \end{cases}$$

1) Рассмотрим первую прямую

$$\begin{cases} x=t-1\\ y=-t+3\\ z=4t-5\\ \end{cases}$$

Чтобы определить начальную точку и вектор, запишем уравнение прямой в каноническом виде.

$\dfrac{x+1}{1}=\dfrac{y-3}{-1}=\dfrac{z+5}{4}$

$\vec a = (1;-1;4)$

Начальная точка $[-1;3;-5]$

2) Как найти начальную точку и вектор, если прямая задана как пересечение плоскостей?!

[zhekas]

точку можно взять любую, подходящую данной системе.

например $(9,5,2)$

А за направляющий вектор взять векторное произведение перпендикуляров к плоскостям , коими являются вектора $\{2,-3,1\}$ и $\{1,1,-5\}$

[integral2009]

zhekas в сообщении #441738 писал(а):

точку можно взять любую, подходящую данной системе.

например $(9,5,2)$

А за направляющий вектор взять векторное произведение перпендикуляров к плоскостям , коими являются вектора $\{2,-3,1\}$ и $\{1,1,-5\}$

Спасибо! Вот полчучилось векторное произведение

$$\vec b= \begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k\\ 2 & -3 & 1\\ 1 & 1& -5\\ \end{vmatrix}= (15-1)\vec i-(-10-1) \vec j+ (2+3)\vec k=14 \vec i +11 \vec j + 5 \vec k $$

-- Ср май 04, 2011 18:44:46 --

Тогда вектор $x_0x_1=(9-1;5-3;2-4)=(8;2;-2)$

-- Ср май 04, 2011 18:56:39 --

$$ \begin{vmatrix} 8 & -2 & 2\\ 2 & -3 & 1\\ 1 & 1& -5\\ \end{vmatrix}= (15-1)8-(-10-1)(-2)+ 2(2+3)=14 \cdot 8 +11 + 5 \cdot 2=112-22 +10 \ne 0 $$

А почему нам нужна независимость этих векторов?!

-- Ср май 04, 2011 19:08:25 --

zhekas в сообщении #441686 писал(а):

Чтобы найти расстояние между двумя скрещивающимися прямыми, через первую прямую проводим плоскость параллельную второй.

А как провести плоскость?
Если мы проводим плоскость через первую прямую, то точка $[1;3;-5]$ принадлежит этой плоскости.
Тогда уравнение плоскости будет выглядеть так: $A(x-1)+B(y-3)+C(z+5)=0$

А как найти нормаль $(A,B,C)$?!

[ewert]

integral2009 в сообщении #441741 писал(а):

А как провести плоскость?

integral2009 в сообщении #441741 писал(а):

А как провести плоскость?

Никак. Нам не нужны плоскости сами по себе, о них речь шла только для наглядности -- нам нужна только общая нормаль к ним.

Вот у Вас уже есть вектор $\vec r=(8,2,-2)$, соединяющий две точки на разных прямых, и направляющие вектора этих прямых: $\vec v_1=(1,-1,4)$ и $\vec v_2=(14,11,5)$. Общая нормаль -- это векторное произведение $\vec n=\vec v_1\times\vec v_2$. Найдите сначала её, а потом проекцию вектора $\vec r$ на направление вектора $\vec n$. Это и будет (с точностью до знака) расстояние между прямыми.

(арифметику я не проверял)

[zhekas]

ewert в сообщении #442176 писал(а):

integral2009 в сообщении #441741 писал(а):

А как провести плоскость?

integral2009 в сообщении #441741 писал(а):

А как провести плоскость?

Никак. Нам не нужны плоскости сами по себе, о них речь шла только для наглядности -- нам нужна только общая нормаль к ним.

Вот у Вас уже есть вектор $\vec r=(8,2,-2)$, соединяющий две точки на разных прямых, и направляющие вектора этих прямых: $\vec v_1=(1,-1,4)$ и $\vec v_2=(14,11,5)$. Общая нормаль -- это векторное произведение $\vec n=\vec v_1\times\vec v_2$. Найдите сначала её, а потом проекцию вектора $\vec r$ на направление вектора $\vec n$. Это и будет (с точностью до знака) расстояние между прямыми.

(арифметику я не проверял)

Как раз нам нужна именно плоскость, чтобы найти расстояние от точки на второй прямой до плоскости

[ewert]

zhekas в сообщении #442197 писал(а):

Как раз нам нужна именно плоскость,

Не нужна. В том смысле, что это лишняя работа. В любом варианте придётся искать для второй прямой точку на ней и её направляющий вектор, а потом вектор нормали $\vec n$ к Вашей плоскости. Но вот саму плоскость выписывать ни к чему -- надо сразу написать, что расстояние есть $|\mathop\mathrm{pr}_{\vec n}\vec r|=\left|\dfrac{\vec r\cdot\vec n}{|\vec n|}\right|$.

[integral2009]

ewert в сообщении #442176 писал(а):

Общая нормаль -- это векторное произведение $\vec n=\vec v_1\times\vec v_2$.

Спасибо, еще раз! Но я не понял -- что означает общая нормаль? Получается, что $\vec n$ перпендикулярен плоскости, в которой лежат вектора $\vec v_1$ и $\vec v_2 $ (а ведь они не обязательно лежат в одной плоскости)

-- Чт май 05, 2011 21:50:18 --

zhekas в сообщении #442197 писал(а):

Как раз нам нужна именно плоскость, чтобы найти расстояние от точки на второй прямой до плоскости

Спасибо! А нормаль к этой плоскости -- это и есть векторное произведение направляющих векторов?

[ewert]

integral2009 в сообщении #442432 писал(а):

Спасибо, еще раз! Но я не понял -- что означает общая нормаль?

Общая -- в смысле одновременно нормаль и к первой прямой, и ко второй.

integral2009 в сообщении #442432 писал(а):

перпендикулярен плоскости, в которой лежат вектора $\vec v_1$ и $\vec v_2 $

А вот это -- уже вполне бессмысленная формулировка. Векторы вообще нигде не лежат, у них вообще нет точки привязки. Можно для двух непараллельных векторов (ну ладно, ладно, неколлинеарных) говорить лишь о направлении (в смысле о нормальном векторе) той плоскости, которой они оба параллельны (не буду уж уточнять, в каком смысле).

[integral2009]

А, спасибо, все представил картинку, теперь понятно все, спасибо!

P.S. А как нужно было бы делать, следую советам zhekas? Как провести плоскость?

-- Чт май 05, 2011 23:03:10 --

zhekas в сообщении #441686 писал(а):

Прямые будут скрещивающимеся, если веукторы $a$, $b$ и $x_0x_1$ - независимы. То есть определитель составленный из их координат не равен 0.

А почему прямые будут скрещивающиеся, если векторы независимы?

-- Чт май 05, 2011 23:18:29 --

To ewert
Спасибо за помощь, осталься последний вопрос
Нужно все-таки проверить -- правильно ли я представил...
Правильно ли я понимаю, что вектор $\vec n$ является нормалью для обеих плоскостей, в которых лежат прямые из условия задачи?!

[integral2009]

(Оффтоп)

....Эх