Представление числа в виде произведения

[Sonic86]

Пусть $\sqrt{2} = \prod\limits_{k=1}^{+ \infty} \left( 1+ \frac{1}{a_k}\right)$, такое, что $a_{k+1} \geq a_k^2$ $P_n$ - $n$-частичное произведение. Докажите, что $n$-частичное произведение отличается от $2^n$-частичного приближения цепной дробью числа $\sqrt{2}$ только в последнем знаке цепной дроби.

(источник)

Задача невозбранно позаимствована отсюда: http://e-science.ru/forum/index.php?showtopic=30613

[bundos]

(Оффтоп)

Та задача не особо сложная, а к вашей вообще не поймёшь как подступиться

[Sonic86]

(Оффтоп)

Руст в прошлый раз решил нечто аналогичное:
topic1046-315.html
задача про метод Ньютона

[sup]

Надо думать, что речь идет о натуральных $a_k$. Разложим $\sqrt 2$ в цепную дробь . Обозначим $k$-ю подходящую дробь как $p_k/q_k$. Тогда для $k \geqslant 0$
$\{p_k\}=1,1,3,7,17,41, ...$ $p_{k+2}=2p_{k+1}+p_{k}$
$\{q_k\}=0,1,2,5,12,29, ...$ $q_{k+2}=2q_{k+1}+q_{k}$
Решив эти рекуррентные соотношения легко получить следующие формулы
$p_{2k}=2p^2_k-(-1)^k$
$q_{2k}=2p_kq_k$
$p_k=q_k+q_{k-1}=q_{k-2}+3q_{k-1}$
$2q_k=p_k+p_{k-1}=p_{k-2}+3p_{k-1}$

Используя эти формулы, по индукции доказываем, что для $k\geqslant 1$
$a_k=p_{2^k}$
$P_k=\dfrac {2q_{2^k}}{p_{2^k}}$
Обозначим $n=2^k$
$p_n=q_{n-2}+3q_{n-1}$
$2q_n=p_{n-2}+3p_{n-1}$
Это значит, что цепная дробь для $P_k$ имеет вид (1;2,2, ... 3) - отличие от подходящей дроби для $\sqrt 2$ только в последнем члене.
Все это не очень сложно. Можно поставить и другой вопрос: что произойдет, если отказаться от требования натуральности $a_k$.

[Sonic86]

sup писал(а):

Надо думать, что речь идет о натуральных $a_k$.

Да, именно так.

sup писал(а):

Можно поставить и другой вопрос: что произойдет, если отказаться от требования натуральности $a_k$.

Ну тогда может исчезнуть единственность представления числа.
Я еще попробую посмотреть, что дает разложение других алгебраических чисел.

[sup]

Ну единственности то уж точно не будет. Достаточно слегка "пошевелить" $a_k$.
Если $a_k$ произвольные, то, разумеется, $P_k$ уже может быть иррационально, а значит его цепная дробь может быть бесконечна. Тем не менее, ее вполне можно сравнивать с подходящими дробями для $\sqrt 2$. Вопрос прежний: можно ли утверждать, что "нужное количество" членов этих цепных дробей совпадают? У меня вроде как получился утвердительный ответ. Нужно лишь уточнить сколько именно - "нужное количество"? (там, возможно, немножко меньше чем $2^k-1$)