Прямая сумма простых подмодулей

[ellipse]

$G$-модулем называется векторное пространство $V$, на котором действует некоторая группа линейных операторов $G$.
Векторное $G$-инвариантное подпространство $U$ наз. подмодулем $V$.
Модуль наз. простым, если он не содержит нетривиальных подмодулей.
Модуль $V$ наз. полупростым, если для любого подмодуля $U$ найдется подмодуль $W$, такой что $V=U\oplus W$.

Нужно доказать, что прямая сумма простых модулей есть полупростой модуль.
Примеры и интуиция подсказывают, что в качестве прямого дополнения для подмодуля нужно взять частичную сумму простых подмодулей.

Пусть $V= \bigoplus_{i=1}^{n} P_i$, а $U$ - какой-то подмодуль $V$. Нужно найти его прямое инвариантное дополнение. Будем последовательно дополнять $U$ простыми слагаемыми до всего пространства $V$. В качестве $P_{i_1}$ выберем такой подмодуль, что $P_{i_1} \cap U = 0$. Такой существует, иначе $U=0$. Пусть промежуточная частичная сумма построена $V_k = U \oplus P_{i_1} \oplus P_{i_2} \oplus ... \oplus P_{i_k}$. Пересечение подмодуля $V_k$ с произвольным простым слагаемым $P_{j}$ либо пустое либо равно $P_{j}$. Следующим слагаемым выберем подмодуль, такой что $P_{i_{k+1}} \cap U = 0$. Рано или поздно придем к тому, что $V_k=V$. Подмодуль $P_{i_1} \oplus P_{i_2} \oplus ... \oplus P_{i_k}$ является искомым прямым инвариантным дополнением $U$.

Правильное ли доказательство? Не совсем четко понимаю, как используется простота подмодулей. Правильно ли я понимаю, что если бы модули были не простыми, то можно было бы дополнить $V_k$ до $V$ только какой-то частью $P_{i_{k+1}}$? Не могу это формально обосновать.