
-модулем называется векторное пространство

, на котором действует некоторая группа линейных операторов

.
Векторное

-инвариантное подпространство

наз. подмодулем

.
Модуль наз. простым, если он не содержит нетривиальных подмодулей.
Модуль

наз. полупростым, если для любого подмодуля

найдется подмодуль

, такой что

.
Нужно доказать, что прямая сумма простых модулей есть полупростой модуль.
Примеры и интуиция подсказывают, что в качестве прямого дополнения для подмодуля нужно взять частичную сумму простых подмодулей.
Пусть

, а

- какой-то подмодуль

. Нужно найти его прямое инвариантное дополнение. Будем последовательно дополнять

простыми слагаемыми до всего пространства

. В качестве

выберем такой подмодуль, что

. Такой существует, иначе

. Пусть промежуточная частичная сумма построена

. Пересечение подмодуля

с произвольным простым слагаемым

либо пустое либо равно

. Следующим слагаемым выберем подмодуль, такой что

. Рано или поздно придем к тому, что

. Подмодуль

является искомым прямым инвариантным дополнением

.
Правильное ли доказательство? Не совсем четко понимаю, как используется простота подмодулей. Правильно ли я понимаю, что если бы модули были не простыми, то можно было бы дополнить

до

только какой-то частью

? Не могу это формально обосновать.