Проверьте пожалуйста решение неравенства.

[Andrey173]

Я знаю, что это неравенство можно и попроще решить, но мне интересно именно так)
Само неравенство : $(\frac{a_1+a_2+...+a_n}{n})^2 \leq \frac{a_1^2 +a_2^2+...+a_n^2}{n}$. Частный случай теоремы о степенных средних.
Предположим, что верно для n чисел и докажем, что верно для n+1. (Также очевидно, что это неравенство верно для n=2).
Пусть $a_{n+1}$ наименьшее их всех чисел, и значит $a_{n+1}\leq A_n(a)$ (Среднего арифметического). Пусть тогда $a_{n+1}=rA_n(a)$. Где $ 0<r \leq 1$

$(\frac{a_1+a_2+...+a_{n+1}}{n+1})^2 \leq \frac{a_1^2 +a_2^2+...+a_{n+1}^2}{n+1} \leftrightarrow$
$\leftrightarrow (\frac{nA_n(a)+rA_n(a)}{n+1})^2 \leq \frac{a_1^2+...+a_n^2+r^2A_n^2(a)}{n+1} \leftrightarrow $
$ \leftrightarrow (\frac{(n+r)A_n(a)}{n+1})^2 - \frac{r^2A_n^2(a)}{n+1}\leq\frac{a_1^2+...+a_n^2}{n+1} \leftrightarrow $
$ \leftrightarrow (\frac{A_n^2(a)}{n+1})(\frac{(n+r)^2}{n+1} - r^2) \leq \frac{a_1^2+...+a_n^2}{n+1} \leftrightarrow $
$ \leftrightarrow (\frac{A_n^2(a)}{n+1})(\frac{n^2}{n+1} + \frac{2nr}{n+1} - \frac{nr^2}{n+1})\leq \frac{a_1^2 + ... + a_n^2}{n+1} $.
Домножим обе части неравенства на $\frac{n+1}{n}$
$ {A_n^2(a)}(\frac{n}{n+1} + \frac{2r}{n+1} - \frac{r^2}{n+1})\leq S_n^2(a) $. (Среднее квадратическое через S обозначим)
$\frac{A_n^2(a)}{n+1}(n+r(2-r)) \leq \frac{A_n^2(a)}{n+1}(n+2-r) \leq \frac{A_n^2(a)}{n+1}(n+1) = A_n^2(a) $
Однако из предположения индукции следует, что $A_n^2(a)\leq S_n^2(a)$