Inequality

[man111]

If $x,y,z>0$ and $xyz=1$.Then prove that $(x^5+y^5+z^5)^2\geq 3(x^7+y^7+z^7)$

[arqady]

Пусть $x=\min\{x,y,z\}$, $y=x+a$ и $z=x+b$. Тогда $(x^5+y^5+z^5)^2-3xyz(x^7+y^7+z^7)\geq$
$\geq(a^2-ab+b^2)x^8-8(a^3-2a^2b-2ab^2+b^3)x^7+4(5a^4-17a^3b+50a^2b^2-17ab^3+5b^4)x^6\geq0$.

[TOTAL]

Обозначим $f(t)=x^t + y^t + z^t$

Верны ли следующие неравенства (из них следовало бы док-во)?

1) $f(t_1) > f(t_2),$ если $t_1 > t_2$
2) $f(t_1) \cdot f(t_2) \le f(\frac{t_1+t_2}{2}) \cdot f(\frac{t_1+t_2}{2})$

[arqady]

TOTAL в сообщении #441231 писал(а):

Обозначим $f(t)=x^t + y^t + z^t$

Верны ли следующие неравенства (из них следовало бы док-во)?

1) $f(t_1) > f(t_2),$ если $t_1 > t_2$
2) $f(t_1) \cdot f(t_2) \le f(\frac{t_1+t_2}{2}) \cdot f(\frac{t_1+t_2}{2})$

Первое верно для положительного $t_2$.
Второе неверно. Коши-Шварц не позволяет.