Множество преобразований координат обязано ли быть группой?

[Munin]

Ну вот такие и не выполняются, что групповой операции для любых двух членов "группы" не определено.

[nestoklon]

Munin в сообщении #440995 писал(а):

Ну вот такие и не выполняются, что групповой операции для любых двух членов "группы" не определено.

Да, я очень неаккуратно выразился в том сообщении. Преобразование конечно же действует из пространства в него же. Что я имел в виду, но очень неаккуратно сформулировал -- что это преобразование может быть параметризовано в том числе исходной ИСО. Групповое действие -- композиция. Квадрат само собой существует, но выписать его явно просто так не получится. Я могу сформулировать совсем аккуратно, но лучше сделаю это через некоторое время чтобы опять не облажаться.

[Munin]

nestoklon в сообщении #441045 писал(а):

Преобразование конечно же действует из пространства в него же.

Ну вот в отсутствие принципа относительности это и не так. Разные ИСО не имеют естественного изоморфизма.

[nestoklon]

Munin в сообщении #441060 писал(а):

Разные ИСО не имеют естественного изоморфизма.

В одной СО мир трёхмерный, а в другой четырёхмерный? Не берём.

[Chepick]

Munin в сообщении #440867 писал(а):

nestoklon в сообщении #440848 писал(а):

Как это? Может быть Вы имеете в виду, что ПЛ в принципе может не исчерпывать всех возможных преобразований между ИСО?

Нет, конечно. Просто при отсутствии принципа относительности множество преобразований иначе устроено: преобразование от ИСО 1 к ИСО 2, движущейся с заданной скоростью относительно ИСО 1, различно для различных исходных ИСО 1. Поэтому речь идёт не об одной группе, а о множестве разных групп. P. S. Даже это неверно.

На самом деле, кроме того, что при отсутсвии Принципа относительности(ПО) преобразованием координат будет не ПЛ, ещё множество преобразований устроено иначе ( его Матрица будет иметь более, чем один параметр), но еще и ИСО могут быть другими. Это становится ясным, если ввести определение равенства ИСО:
Две ИСО равны тогда и только тогда, когда координаты любого события в них совпадают.

-- Вт май 03, 2011 00:46:10 --

Munin в сообщении #440977 писал(а):

А опишите-ка мне $g^2.$ Или назовите группу, в которой элемент нельзя в квадрат возвести.

На мой взгляд, Вы неверно сформулировали вопрос, так как в любой группе квадрат любого элемента принадлежит этой группе - по определению группы.
2. Вы обсуждаете невыполнение свойств группы, но говорите о групповом преобразовании. Если преобразование групповое, то множество преобразований не может не образовывать группу, иначе это преобразование не было бы групповым.

-- Вт май 03, 2011 01:04:26 --

Munin в сообщении #440933 писал(а):

Всё-таки, возможно ли взять композицию переходов от СО 1 к СО 2 и от СО 1 к СО 3?

Не только можно, но и нужно! То, что такая последовательность (композиция) преобразований принадлежит тому же множеству преобразований, как раз и определяет достаточность этог свойства для множества преобразований, а вовсе не предлагаемое в ТО свойство: произведение любых преобразований принадлежит множеству преобразований.

nestoklon в сообщении #440952 писал(а):

Я сказал последовательных. Есть переход от CO1 к СО2 и от СО2 к СО3. Композиция -- это естественно определённый переход от СО1 к СО3.
$g_1: \text{СО1} \to \text{СО2}$, $g_2: \text{СО2} \to \text{СО3}$, $g_{12}=g_1\circ g_2: \text{СО1} \to \text{СО2} \to \text{СО3}$.
С так определённой групповой операцией переходы между системами отсчёта образуют группу.

Это неверно. такого свойства мало, чтобы образовать группу, например, такое свойство не позволяет в общем случае возвести преобразование в квадрат, так как в этом случае для неединичного элемента $g_1:$ будет \text{СО1} \neq \text{СО2}$, и последовательного преобразования не получится.

[VladTK]

Если элементы множества преобразований есть непрерывные функции некоторого параметра $\alpha$ (или набора таких параметров), то композиция естественно определяется как

$$ g_1 \equiv \hat{S}_1 (\alpha) $$

$$ g_2 \equiv \hat{S}_2 (\beta) $$

$$ g_3 = g_1 \circ g_2 \equiv \hat{S}_3 (f(\alpha,\beta)) $$

где $f(\alpha,\beta)$ - некоторая функция определяющая групповой закон. При таком определении квадрат некоторого элемента есть просто ряд последовательных преобразований с одним и тем же параметром

$$ g^2 \equiv \hat{S} (f(\alpha,\alpha)) $$

[Chepick]

VladTK в сообщении #441155 писал(а):

...где $f(\alpha,\beta)$ - некоторая функция определяющая групповой закон. При таком определении квадрат некоторого элемента есть просто ряд последовательных преобразований с одним и тем же параметром

$$ g^2 \equiv \hat{S} (f(\alpha,\alpha)) $$

Замечу, что последовательные преобразования - это произведение матриц отдельных преобразований.
Вот только функция $f(\alpha,\beta)$ - откуда её взять, не налагая дополнительных условий на преобразования и операцию?
Кстати, если f() определяет групповой закон, то будет группа, если не групповой закон - то нет!

[nestoklon]

Munin в сообщении #441060 писал(а):

Ну вот в отсутствие принципа относительности это и не так. Разные ИСО не имеют естественного изоморфизма.

Знаете, я подумал. И я с Вами до некоторой степени согласен. Всегда ещё до того как начинают активно эксплуатировать принцип относительности, неявно предполагают что координаты любого события в любой СО можно записать как вектор в линейном пространстве фиксированной размерности. И я настолько привык принимать это как должное, что обманул сам себя, думая что этот факт не является необходимым. Конечно я его в своих рассуждениях неявно использовал. Надо понять, нельзя ли заменить его ещё более слабым условием.
Однако, этот факт мне кажется более общим чем принцип относительности.
Более того, я могу занять принципиальную позицию и сказать, что из принципа относительности никак не следует, что мир описывается векторами в линейном пространстве. Так что математическая структура описывающая пространство до некоторой степени независима от ПО и лучше её фиксировать с начала, а не заметать под ковёр.

[VladTK]

Chepick в сообщении #441172 писал(а):

Замечу, что последовательные преобразования - это произведение матриц отдельных преобразований...

Это верно, если элементы множества преобразований есть линейные операторы. В противном случае -нет.

Chepick в сообщении #441172 писал(а):

...Вот только функция $f(\alpha,\beta)$ - откуда её взять, не налагая дополнительных условий на преобразования и операцию? Кстати, если f() определяет групповой закон, то будет группа, если не групповой закон - то нет!

Пусть имеется множество элементов преобразований как непрерывных функций своих параметров:

$$ g \equiv \hat{S} (\alpha) $$

Чтобы это множество было группой необходимо выполнение групповых аксиом. Вот, например, из Румера, Фета "Теория унитарной симметрии":

Цитата:

Система операторов G в C(n) (n произвольно, но фиксировано) называется группой, если G обладает следующими свойствами:
1. Произведение двух операторов из G есть снова оператор из G
2. Тождественный(единичный) оператор принадлежит G
3. Для каждого оператора U из G существует обратный оператор $U^{-1}$, и этот обратный оператор принадлежит G

Аксиому 1 естественно связать с условием:

$$ \hat{S} (0)=\hat{I} $$

где $\hat{I}$ - единичный оператор, который должен входить в множество согласно аксиоме 2. Ну и, согласно третьей аксиоме, для каждого $\alpha$ должно существовать такое $\beta$, что выполнено условие

$$ f(\alpha,\beta)=0 $$

Простейшей функцией, удовлетворяющей таким условиям, является линейная функция:

$$ f(\alpha,\beta)=\alpha+\beta $$

Для обратного элемента, имеем в этом случае $\beta=-\alpha$

[Munin]

nestoklon в сообщении #441191 писал(а):

Однако, этот факт мне кажется более общим чем принцип относительности.

Ну, так сформулированный - да. Но требуется несколько более сильный факт, чтобы можно было сопоставить базисы этих линейных пространств, полагая, что "метр вдоль оси y" в одной ИСО и в другой ИСО - это и там и там метр. А поскольку метр можно дефинировать разными путями через любую из задействованных физических теорий (лишь бы только её константы позволяли составить размерность длины), то получается и принцип относительности: все эти теории должны порождать один и тот же метр. То есть мы не можем определить абсолютного движения нашей ИСО из любой теории или их сочетания: в конечном счёте, они порождают изоморфные пространства с изоморфно действующими законами физики, это и есть относительность.

nestoklon в сообщении #441191 писал(а):

Более того, я могу занять принципиальную позицию и сказать, что из принципа относительности никак не следует, что мир описывается векторами в линейном пространстве.

Да, разумеется, из него самого - нет. Можно выдумать принцип относительности на сфере, или ещё что-то более замысловатое. Но добавление принципа относительности к известной структуре пространства, построенной хотя бы в одной ИСО, требует, чтобы такой же структурой обладали и все остальные ИСО.

nestoklon в сообщении #441191 писал(а):

Так что математическая структура описывающая пространство до некоторой степени независима от ПО и лучше её фиксировать с начала, а не заметать под ковёр.

В некоторых пределах это было проделано в начале 20 века, когда было замечено, что пространство Де Ситтера обладает не меньшими симметриями, чем Минковского, и были перечислены все пространства Эйнштейна с таким набором симметрий. Кроме того, были рассмотрены другие структуры, кроме псевдоримановой, хотя о результатах здесь я не в курсе. Но интерес к этой области сильно упал в связи с распространением ОТО. Может быть, SUSY ещё обращается к этой теме.

[nestoklon]

Munin в сообщении #441245 писал(а):

То есть мы не можем определить абсолютного движения нашей ИСО из любой теории или их сочетания: в конечном счёте, они порождают изоморфные пространства с изоморфно действующими законами физики, это и есть относительность.

Мой point был в том, что для того чтобы преобразования координат были группой изоморфность законов физики (что обычно подразумевается под ПО) не требуется. Требуется (как мы с Вами выяснили в ходе обсуждения) только изоморфность пространств разных СО.

Munin в сообщении #441245 писал(а):

Но добавление принципа относительности к известной структуре пространства, построенной хотя бы в одной ИСО, требует, чтобы такой же структурой обладали и все остальные ИСО.

Это конечно. Но как с гарантией определить, что у нас псевдоевклидово пространство размерности (3,1) хотя бы в одной ИСО?

Munin в сообщении #441245 писал(а):

Но интерес к этой области сильно упал в связи с распространением ОТО.

Может он не только из-за ОТО упал но и потому, что математики на тот момент откровенно не хватало? Топологии можно считать что совсем не было, теория групп находилась в зачаточном состоянии. Дифференциальная геометрия во многом создавалась под нужды ОТО.

[Munin]

nestoklon в сообщении #441253 писал(а):

Требуется (как мы с Вами выяснили в ходе обсуждения) только изоморфность пространств разных СО.

Дело в том, что пространства от законов физики неотделимы. В физике пространство можно из законов физики восстановить, а если законов физики несколько разных, эта процедура становится неоднозначной, если только законы физики не "договорились" между собой.

nestoklon в сообщении #441253 писал(а):

Но как с гарантией определить, что у нас псевдоевклидово пространство размерности (3,1) хотя бы в одной ИСО?

Например, наблюдая столкновения частиц в этой ИСО. Поскольку они будут двигаться в соответствии с псевдоевклидовой метрикой (3,1), PROFIT.

nestoklon в сообщении #441253 писал(а):

Может он не только из-за ОТО упал но и потому, что математики на тот момент откровенно не хватало?

Как раз хватало. Были всякие извращения типа телепараллелизма. Напротив, оказался неинтересен физический тезис, что принцип относительности затрагивает всё пространство целиком, акцент перешёл на локальные соотношения.

nestoklon в сообщении #441253 писал(а):

Топологии можно считать что совсем не было, теория групп находилась в зачаточном состоянии. Дифференциальная геометрия во многом создавалась под нужды ОТО.

Под нужды ОТО всё сделали Риман и Леви-Чивита, а Вейль и Э. Картан действовали далеко за пределами её нужд. Топология для ОТО не нужна, точнее, вполне достаточно сделанного тем же Риманом и Пуанкаре. Чем больше я знакомлюсь с математикой, тем больше разубеждаюсь, что физика её в этом месте двигала.

[nestoklon]

Munin в сообщении #441267 писал(а):

Например, наблюдая столкновения частиц в этой ИСО. Поскольку они будут двигаться в соответствии с псевдоевклидовой метрикой (3,1), PROFIT.

Я не очень понимаю, что значит "они будут двигаться в соответствии с...". Электроны в квантовой яме "рождаются", рекомбинируют с дырками, сталкиваются и т.д. и т.п. находясь целиком и полностью в рамках двумерия. В принципе, по некоторым косвенным признакам можно догадаться что "на самом деле" и эти электроны трёхмерны, но двигаются они не в соответствии с (3,1) ни разу.

[Chepick]

Munin в сообщении #440822 писал(а):

Как раз касается. Почитайте учебники, для чего эта группа вводится.

Нет, группа физических свойств не касается, поскольку, в частности, Лоренцевское сжатие продольной длины не приводит к возникновению пьезоэффекта и возникновению по закону Гука силы, противодействующей такому сжатию. Если Ракета летит мимо Звезды, в ИСО которой строго по круговой орбите вращается Планета, то в ИСО Ракеты Планета будет вращаться по эллипсу, но Звезда не будет находиться в одном из двух фокусов эллипса, что противоречит первому закону Кеплера (и Эйнштейна).
В Физической энциклопедии сказано, что группа преобразований координат является отражением свойств симметрии. Но в группе симметрия не может нарушаться, а в реальности имеется огромное количество примеров нарушения симметрий.

[Munin]

nestoklon в сообщении #441286 писал(а):

Я не очень понимаю, что значит "они будут двигаться в соответствии с...". Электроны в квантовой яме "рождаются", рекомбинируют с дырками, сталкиваются и т.д. и т.п. находясь целиком и полностью в рамках двумерия. В принципе, по некоторым косвенным признакам можно догадаться что "на самом деле" и эти электроны трёхмерны, но двигаются они не в соответствии с (3,1) ни разу.

А в квантовой яме - они и не в ней. Я говорил про свободные частицы. Частицы в квантовой яме можно представлять себе по-разному, (3,1) с потенциалом - только один из вариантов. И разумеется, при наличии квантовой ямы нет принципа относительности.

-- 03.05.2011 19:41:38 --

Chepick в сообщении #441321 писал(а):

В Физической энциклопедии сказано, что группа преобразований координат является отражением свойств симметрии.

Не просто "свойств симметрии", а свойств симметрии физических законов. (Или рассматриваемых в данном пространстве уравнений, которые являются моделями физических законов.)