Икс и игрек (задача с XXV всесоюзки)

[age]

nnosipov в сообщении #438808 писал(а):

to maxal: откуда задача? Очень похоже на замшелую классику.

Цитата:

(задача с XXV всесоюзки)

[nnosipov]

age в сообщении #438823 писал(а):

nnosipov в сообщении #438808 писал(а):

to maxal: откуда задача? Очень похоже на замшелую классику.

Цитата:

(задача с XXV всесоюзки)

Нет, задача с XXV всесоюзки --- это сильно урезанная версия задачи maxal'а. А вот интересно, кто её тогда (в 1991 году) предложил на Всесоюзную олимпиаду?

[nnosipov]

Ну вот, кажется, удалось разобраться, откуда что. Итак, эта задача была опубликована в AMM в 1992 году за номером 10213 (см. стр. 361). Решение появилось только в 1995 году (см. стр. 172-173). Собственно, это третий способ решить задачу, использующий теорию "негативных" уравнений Пелля, без гауссовской теории бинарных квадратичных форм (см. решение Sonic86'а). В комментариях приведён sketch решения, использующего метод спуска, формально не использующего уравнения Пелля; если восполнить детали, то получится примерно то же, что и у меня. Позднее, в 2004 году, задача обсуждалась на http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... php?t=6505 Вот такая вот история вопроса (во всяком случае, других следов обнаружить не удалось). Но интрига остаётся: ведь XXV Всесоюзная прошла в 1991 году, до публикации в AMM. Кто же всё-таки автор этой шикарной задачи?

[Sonic86]

(Оффтоп)

авторы иногда напоминают коварных типов из американских фильмов, которые в тайне от всех замышляют что-то злое и ужасное

[nnosipov]

Sonic86 в сообщении #439712 писал(а):

(Оффтоп)

авторы иногда напоминают коварных типов из американских фильмов, которые в тайне от всех замышляют что-то злое и ужасное

(Оффтоп)

Честно говоря, даже не знаю, что и написать ... А ничего не буду писать.

[maxal]

nnosipov в сообщении #439687 писал(а):

Но интрига остаётся: ведь XXV Всесоюзная прошла в 1991 году, до публикации в AMM. Кто же всё-таки автор этой шикарной задачи?

Внимательнее надо быть. Тема начата Xenia1996, и это ее "задача с XXV всесоюзки" - см. первое сообщение в этой теме, обсуждаемая же задача была указана во втором сообщении.

[nnosipov]

maxal в сообщении #440919 писал(а):

nnosipov в сообщении #439687 писал(а):

Но интрига остаётся: ведь XXV Всесоюзная прошла в 1991 году, до публикации в AMM. Кто же всё-таки автор этой шикарной задачи?

Внимательнее надо быть. Тема начата Xenia1996, и это ее "задача с XXV всесоюзки" - см. первое сообщение в этой теме, обсуждаемая же задача была указана во втором сообщении.

Да я не имею в виду тех, кто на dxdy опубликовал эту задачу. По-моему, совершенно ясно, о чём я хотел сказать и что хочу выяснить. Мне интересно, кто первым заметил тот факт, что одно из чисел $x$ или $y$ должно быть точным квадратом. Вполне возможно, что тот, кто предложил задачу (в её сильно урезанном варианте) на Всесоюзную олимпиаду. (А Walsh её опубликовал в 1992 году, уже позже.) К сожалению, из сборников олимпиадных задач не всегда можно узнать, кто автор той или иной задачи. Во всяком случае, совершенно не верится в то, что Walsh первым обнаружил этот забавный факт.
Вот, нашёл (в "Кванте", 11, 1991): это был А. Аднжанс. Неужели он не заметил? Очень странно.

[nnosipov]

Sonic86 в сообщении #381019 писал(а):

$$p(ax+by)^2-q(cx+dy)^2=qx^2-py^2 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{ccc} pa^2-qc^2=q \\ pab=qcd \\ pb^2-qd^2=p \end{array}$$

Вот где Вы знак потеряли: третье уравнение должно быть $pb^2-qd^2=-p$. Так что пока никакого противоречия нет, а значит, и нет третьего решения задачи.

[maxal]

nnosipov в сообщении #440929 писал(а):

Вот, нашёл (в "Кванте", 11, 1991): это был А. Аднжанс.

А где именно там?

[nnosipov]

maxal в сообщении #441208 писал(а):

nnosipov в сообщении #440929 писал(а):

Вот, нашёл (в "Кванте", 11, 1991): это был А. Аднжанс.

А где именно там?

Стр. 55 и далее. В конце номера решения задач XXV олимпиады. Но авторское решение очень лаконичное и непонятно, видел ли Анджанс то, что мы обсуждаем (если видел, то почему не опубликовал?). Видимо, правду можно узнать только у него самого.

[Sonic86]

nnosipov писал(а):

Вот где Вы знак потеряли: третье уравнение должно быть $pb^2-qd^2=-p$. Так что пока никакого противоречия нет, а значит, и нет третьего решения задачи.

Да, так и есть. Сейчас поисправлял все найденные опечатки и немного рассуждения упростил. Решение сейчас неверно. Наверное не починю.

[nnosipov]

Да, можно упростить вот этот момент: если уравнение $pu^2-qv^2=1$ разрешимо, то форма $pu^2-qv^2$ эквивалентна форме $u^2-pqv^2$ (из решения легко изготовляется унимодулярная замена переменных). Таким образом, у нас имеется по крайней мере три попарно эквивалентных формы: $pu^2-qv^2$, $qu^2-pv^2$ и $u^2-pqv^2$ одного и того же дискриминанта. Вот здесь, наверное, и надо искать противоречие.
(У Гаусса, скорее всего, всё это есть, но было бы интересно самим сообразить.)

[scwec]

1.Рискну предположить, что справедливо утверждение более сильное, чем вопрос maxal:(далее $x>y$)
А именно: Пусть $x, y$ - удовлетворяют условиям maxal.
Обозначим $R=(x,y+1)$, $S=(x+1,y)$. Тогда $(R-1)(S-1)=0$
2. Интересным во всей это истории мне кажется вот что: обозначим $N=x-y$
Тогда для $N$ решается Leechs' Problem.(Нужно доказывать - хоть и "замшелая классика")
http://classic-web.archive.org/web/2007 ... echint.htm
Пример: пусть $x=13689$, $y=360$, $N=x-y=13329$
$xy+x=2223^2$
$xy+y=2220^2$
Уравнения Лича:
$987012^2+1405^2=987013^2$
$987012^2+(1405*13329)^2=18753237^2$

[nnosipov]

scwec в сообщении #445486 писал(а):

1.Рискну предположить, что справедливо утверждение более сильное, чем вопрос maxal:(далее $x>y$)
А именно: Пусть $x, y$ - удовлетворяют условиям maxal.
Обозначим $R=(x,y+1)$, $S=(x+1,y)$. Тогда $(R-1)(S-1)=0$
2. Интересным во всей это истории мне кажется вот что: обозначим $N=x-y$
Тогда для $N$ решается Leechs' Problem.(Нужно доказывать - хоть и "замшелая классика")
http://classic-web.archive.org/web/2007 ... echint.htm
Пример: пусть $x=13689$, $y=360$, $N=x-y=13329$
$xy+x=2223^2$
$xy+y=2220^2$
Уравнения Лича:
$987012^2+1405^2=987013^2$
$987012^2+(1405*13329)^2=18753237^2$

Очень интересно! п. 1 выглядит правдоподобно и удивительно. Что касается п. 2, то догадаться нетрудно, особенно когда указан конкретный пример А что известно про обратное утверждение?

[nnosipov]

scwec в сообщении #445486 писал(а):

1.Рискну предположить, что справедливо утверждение более сильное, чем вопрос maxal:(далее $x>y$)
А именно: Пусть $x, y$ - удовлетворяют условиям maxal.
Обозначим $R=(x,y+1)$, $S=(x+1,y)$. Тогда $(R-1)(S-1)=0$

Это утверждение действительно верно, но лишь ненамного сильнее исходного (т.е. вытекает из него и ещё одного несложно доказываемого утверждения).