Возведение ряда в куб

[alexey007]

Привет всем! Не могу найти формулы для возведения ряда в куб. Задача следующая, дан ряд:

$y(x)=\sum{C_nx^n}$, как преобразятся коэффициенты ряда при возведении его в куб?
$y(x)=(\sum{C_nx^n})^3-?$

[Полосин]

Начните с конечной суммы.

[arseniiv]

Можно ещё представить трёхмерное пространство точек с координатами $C_i x^i$ по каждой оси (если сложить координаты одной оси, получим исходный ряд), а точкам приписать «значения» — произведения соответствующих координат. Если просуммировать значения всех точек, получим куб исходного ряда. Рассмотрим множества точек, у которых значения — $\ldots \cdot x^i$. При суммировании они дадут какое-то $D_i x^i$ от нового ряда. По структуре таких множеств можно найти, как получаются $D_i$.

[jemka]

Можно составить реккурентные формулы по степеням для коэффициентов. Ну, уж сильно нудно.
Можно, конечно, просуммировать ряд, потом функцию возвести в куб и разложить в ряд Маклорена.
Но, имхо, даже для основного степенного ряда - геометрической прогрессии сразу не напишешь ответ.

[arseniiv]

Неправда. Всё довольно просто пишется. $D_i$ будет суммой сумм $C_i$.

[alexey007]

arseniiv, напишите, пожалуйста, а то у меня ничего не получается, а это нужно для дальнейших вычислений)))

[jemka]

Сумма сумм. ЧТо-то не соображу. У меня как-то так
$D_0= ${С_0}^3$ $
$D_1= 3 $С_0$^2 {C_1}$
$D_2= 3 $С_0$ {С_1}^2 + 3 $С_2$ {С_0}^2$
Ну и ...

[arseniiv]

Я вам лучше нарисую:



$D_3 = C_3C_0C_0 + C_2C_1C_0 + C_2C_0C_1 + C_1C_2C_0 +$$C_1C_1C_1 + C_1C_0C_2 + C_0C_3C_0 + C_0C_2C_1 + C_0C_1C_2 + C_0C_0C_3$.

Вам осталось вообще ничего: свернуть всё в $D_i = \sum\limits_{\cdots}^{\cdots} \sum\limits_{\cdots}^{\cdots} C_{\cdots}$.

[jemka]

Ну, не совсем просто и честно не понял, где сумма сумм
Свернем ( т.е. сгруппируем, вынесем ) и получим сумму сумм?

[arseniiv]

Смотря как группировать и что выносить.

[jemka]

Если возможно, то это и поясните. У меня все время еще присутствуют и произведения.

[arseniiv]

Произведение будет внутри сумм.

-- Пн май 02, 2011 19:01:51 --

Может быть, можно потом дальше свернуть как-нибудь, чтобы было с мультиномиальными коэффициентами, не знаю. Да и будет ли в этом смысл.

-- Пн май 02, 2011 19:24:46 --

Нет, про мультиномиальные коэффициенты я зря сказал, они совершенно ничем не помогут.