Нетрудная задачка, но мне понравилась.
На доске написано 2011 натуральных чисел, каждое из которых не превосходит 2011. Если

и

— какие-то два из этих чисел и

, то разрешается вместо числа

написать число

. С новым набором чисел можно выполнить эту же операцию и т.д.
а) Доказать, что через не более чем 4020 шагов можно добиться того, чтобы среди написанных на доске чисел 2010 чисел были нулями.
б) Доказать, что вначале могут быть написаны такие числа, что будет невозможно получить 2010 нулей раньше, чем через 4020 шагов.