Непрерывная функция под интегралом

[amfisat]

Всем привет! И с Первомаем!

Мой вопрос:

Правда ли что из равенства $\int_{a}^{b}f(x)dx=0$ следует $f(x)=0$ только в том случае, если $f(x)$ непрерывна на $[a,b]$?
Почему?

[bundos]

$\int\limits_{\frac{-\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\sin xdx=.. $

[amfisat]

Ну да, пример понятен. Спасибо. А почему это так? - ведь это просто частный случай. А я хочу проверить для любой функции.

[--mS--]

amfisat в сообщении #440639 писал(а):

Ну да, пример понятен. Спасибо.

Что именно Вам понятно в примере?

[amfisat]

$sinx$ - непрерывная на $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ функция. Этот интеграл =0. Правда, что отсюда следует ...

[gris]

Ну если под интегралом функцию по модулю взять, то отчего бы и нет?
Либо понимать равенство не как $f(x)\equiv 0$, а как существование... Чего?

[amfisat]

... предела: $f(x)->0$ для х из промежутка.

Но мне все равно не понятно, почему верно то, что функция стремится к 0, если интеграл =0 и она непрерывна (мне не совсем понятно, как именно используется непрерывность).

[gris]

Не стремится.
Подумайте, чем отличаются выражения $f(x)=0$ и $f(x)\equiv 0$.
О каком или каких $x$ идёт речь? И что было в условии до того, как Вы его облекли в формульную форму. Что если условие сказать словами?

[ewert]

amfisat в сообщении #440658 писал(а):

Но мне все равно не понятно

Потому, что Вы вопрос толком не поставили -- вот Вам и непонятно.

Разумная постановка такая: если функция неотрицательна, непрерывна и интеграл от неё равен нулю, то она -- тождественный ноль.

Или, что эквивалентно: если функция непрерывна и интеграл от неё ноль, то она или тождественно равна нулю, или принимает значения и того, и другого знака.

[AKM]

amfisat,

чуть выше Вам было как бы предложено перепроверить условие задачи. Я добавил две красненькие палочки:

Цитата:

Правда ли что из равенства $\int_{a}^{b}{\color{red}|}f(x){\color{red}|}dx=0$ следует $f(x)=0$ только в том случае, если $f(x)$ непрерывна на $[a,b]$?

В такой формулировке она более осмысленна. А в Вашей — фууу... Конечно, неправда.

чуть выше gris в сообщении #440650 писал(а):

Ну если под интегралом функцию по модулю взять, то отчего бы и нет?

[amfisat]

gris в сообщении #440660 писал(а):

Подумайте, чем отличаются выражения $f(x)=0$ и $f(x)\equiv 0$.

Наверное, $f(x)\equiv 0$ - функция, для всех $x$ принимающая значение $0$, а $f(x)=0$ не для всех.

gris в сообщении #440660 писал(а):

Что если условие сказать словами?

Как-то так: правда ли, что, если площадь подграфика непрерывной функции (ну да, модуль, верно) равна 0 (на конечном промежутке), то то эта функция такая:
$f(x)\equiv 0$. Верно?

Цитата:

Разумная постановка такая: если функция неотрицательна, непрерывна и интеграл от неё равен нулю, то она -- тождественный ноль.

Да, именно это я и хотел сказать. Спасибо.

[gris]

Вот это уже верно.

Хотя верно и такое утверждение: Если интеграл непрерывной функции на отрезке равен нулю, то существует точка, в которой функция обращается в ноль.

Площадь тоже можно понимать по-разному. Площадь подграфика... Звучит, как подотдел очистки

[amfisat]

Цитата:

Площадь подграфика...

У нас это определение на матане давалось на 1 курсе. Не сам я выдумал.

Цитата:

Если интеграл непрерывной функции на отрезке равен нулю, то существует точка, в которой функция обращается в ноль.

Да, понятно (я себе картинку представляю). А почему это так? Ведь это ж не аксиома? Это утверждение наверняка выводится из другого утверждения или из какого-то свойства?!

[arseniiv]

amfisat в сообщении #440674 писал(а):

У нас это определение на матане давалось на 1 курсе. Не сам я выдумал.

Точно не «площадь под графиком»?

[gris]

Из непрерывности. Ну представьте, что функция нигде не обращается в ноль. Значит, она либо положительна, либо отрицательна. Ну и чтобы насчёт разной экзотики не думать — на некотором интервале она больше (меньше) некоторого значения. И тогда интеграл не может быть равен нулю. То есть доказываем от противного.