Интересная закономерность (и очень красивая)

[Xenia1996]

$(2+1)\cdot 1=3$
$3^2+4^2=5^2$

$(3+2)\cdot 2=10$
$10^2+11^2+12^2=13^2+14^2$

$(4+3)\cdot 3=21$
$21^2+22^2+23^2+24^2=25^2+26^2+27^2$

$(5+4)\cdot 4=36$
$36^2+37^2+38^2+39^2+40^2=41^2+42^2+43^2+44^2$



/////////////////////////////////////////////////////////////////////


$(n+(n-1))\cdot (n-1)=(2n-1)(n-1)=2n^2-3n+1$

$(2n^2-3n+1)^2+(2n^2-3n+2)^2+ \dots +(2n^2-3n+n)^2=(2n^2-3n+(n+1))^2+(2n^2-3n+(n+2))^2+ \dots + (2n^2-3n+(2n-1))^2$

[vajsaforutube]

Может, это как-то превращается в $n(n+1)(2n+1)/6 = 1^2+2^2+3^2...+n^2$? В любом случае, забавно :)
Вообще такого рода формулы для сумм последовательных натуральных чисел произвольных степеней можно выводить из доказательства того, что бином Ньютона - целое число.

[grugen]

$(2n^2-3n+1)^2=(2n-1)^2\sum_2^n(2n-3)$

Формула получается переносом в правую часть слогаемых,
образующих разность квадратов.