тяжело даются теоретические задания по интегралам

[tavrik]

очень тяжело.
лучше бы дали взять штук 20 разных. там хоть ясно что делать.
а здесь не знаю - играть с пределами интегрирования и с первообразной.
поэтому два конкретных вопроса и один общий.
Как к ним подходить?

1) f непрерывна и $\int\limits_{0}^\infty f(x)dx$ сходится
доказать, что $\lim\limits_{x\rightarrow\infty}{\int\limits_{x}^{x^2}f(x)dx}$ = 0

2) f непрерывна, $\int\limits_{0}^\infty f(x)dx$ сходится абсолютно
и существует предел $\lim\limits_{x\rightarrow\infty} f(x)

доказать сходимость $\int\limits_{0}^\infty f(x)f(x^2)dx$

[Sonic86]

Например так:
1) Вспомните критерий сходимости несобственного интеграла через его остаток.
2) оцените интеграл произведения сверху через оценку $f(x^2)$ сверху.
Если не наврал

[tavrik]

1) какой такой остаток?


2) понял, что надо сравнивать, но ведь сравнивать можно только интегралы от неотрицательных фукции...или нет?

update:
а..это она и есть...сори

[ewert]

tavrik в сообщении #440559 писал(а):

доказать, что $\lim\limits_{x\rightarrow\infty}{\int\limits_{x}^{x^2}f(x)dx}$ = 0

Поскольку $x^2>x$ при всех достаточно больших $x$, это -- такой ма-аленький кусочек критерия Коши сходимости несобственного интеграла.

(другое дело, что размышлениям на эту тему может помешать безграмотная запись этого интеграла: пределы интегрирования и переменная интегрирования должны обозначаться разными буквами)

tavrik в сообщении #440559 писал(а):

существует предел $\lim\limits_{x\rightarrow\infty} f(x)$

Это -- намёк на то, что функция ограничена. Небольшой нюанс: при выписывании формального доказательства необходимо не забыть упомянуть, что раз уж предел существует, то он в данной ситуации непременно конечен (и даже равен нулю, но это уже не важно).

[tavrik]

вот. тут не совсем так.
предел может быть конечен а может быть бесконечен(по условию задачи).

[ewert]

tavrik в сообщении #440585 писал(а):

предел может быть конечен а может быть бесконечен(по условию задачи).

А я о чём?... Докажите, что в совокупности условий задачи предел не может быть бесконечным.