вычислить производную

[OcbMuHor]

$\[{\left[ {{{\left( {4 - {e^{\sin x}}} \right)}^3}} \right]^'} = 3{\left( {4 - {e^{\sin x}}} \right)^2} \cdot {\left( {{e^{\sin x}}} \right)^'} = 3{\left( {4 - {e^{\sin x}}} \right)^2}\left( {{e^{\sin x}}\ln e \cdot \cos x + \cos x \cdot {e^{(\sin x) - 1}}{e^{\sin x}}} \right) = 3{\left( {4 - {e^{\sin x}}} \right)^2}\left( {{e^{\sin x}} \cdot \cos x\left( {1 + {e^{(\sin x) - 1}}} \right)} \right)\]$

Еще вопрос: где излагается материал о логарифмах и експоненте (что это, зачем, примеры).

[Dan B-Yallay]

$$\forall f: \ \big[ e^{f(x)} \big]' = e^{f(x)} \cdot f'(x)$$

http://www.math.ru/lib/book/pdf/shen/log.pdf
http://www.krugosvet.ru/enc/nauka_i_teh ... ARIFM.html

[Tlalok]

Производную Вы нашли не верно.
$x^e$ и $e^x$ - это две разные функции, а значит и производные у них будут разными.

Не понятно как вообще появилась вот это выражение:
$\left( {{e^{\sin x}}\ln e \cdot \cos x + \cos x \cdot {e^{(\sin x) - 1}}{e^{\sin x}}} \right) $

[OcbMuHor]

$\[\left[ {{{\left( {4 - {e^{\sin x}}} \right)}^3}} \right] = 3{\left( {4 - {e^{\sin x}}} \right)^2} \cdot {\left( { - {e^{\sin x}}} \right)^'} = 3{\left( {4 - {e^{\sin x}}} \right)^2} \cdot \left( { - {e^{\sin x}}\cos x} \right) = - 3{e^{\sin x}}\cos x{\left( {4 - {e^{\sin x}}} \right)^2}\]$

[Tlalok]

Верно

[OcbMuHor]

Tlalok в сообщении #440446 писал(а):

Производную
Не понятно как вообще появилась вот это выражение:
$\left( {{e^{\sin x}}\ln e \cdot \cos x + \cos x \cdot {e^{(\sin x) - 1}}{e^{\sin x}}} \right) $

$\[{\left( {{u^v}} \right)^'} = {u^v} \cdot \ln u \cdot {v^'} + v \cdot {u^{v - 1}} \cdot {u^'}\]$
Такая вот есть формула на вооружении.

[Dan B-Yallay]

Tlalok писал(а):

Не понятно как вообще появилась вот это выражение:
$\left( {{e^{\sin x}}\ln e \cdot \cos x + \cos x \cdot {e^{(\sin x) - 1}}{e^{\sin x}}} \right) $

Если взять производную $(\textcolor{blue}{f}^g)'= f^g\cdot g'$ как от показательной функции и сложить с производной как от степенной $(f^{\textcolor{blue} {g}})'=g \cdot f^{g-1}\cdot f'$. Для $x^x$ срабатывает.

[OcbMuHor]

Интересная деталь. Проверил в маткаде и вот какой результат $\[ - 3{e^{\sin x}} \cdot \cos x \cdot {\left( {{e^{\sin x}} - 4} \right)^2}\]$ Значит где -то ошибка есть?

[Dan B-Yallay]

Вы эту разницу в знаке возводите в квадрат, не так ли?

[OcbMuHor]

да да. никогда раньше не обращал внимания на то что $\[{(a - b)^2} = {(b - a)^2}\]$

[Dan B-Yallay]

Кстати, заметьте что формула которая у вас "на вооружении" дает невервый ответ.

[OcbMuHor]

Dan B-Yallay в сообщении #440471 писал(а):

Кстати, заметьте что формула которая у вас "на вооружении" дает невервый ответ.

Это не формула, это я неверно посчитал. Там несколько ошибок. А вообще експоненту можно рассматривать как функцию в матанализе? Ведь это та же постоянная что и пи, в физике мю, эпсилон.

[Tlalok]

ewert в сообщении #440337 писал(а):

Интересно. А константа -- это что, уже и не функция?...

[arseniiv]

(Поправление \TeX.)

OcbMuHor, лучше не $f^'$, а $f'$.