Экстремумы "длин" кривых на псевдоримановой плоскости

[Kallikanzarid]

Поскольку еще есть безумцы, желающие серьезно рассматривать инфинумы длин кривых на псевдоримановой плоскости, рассмотрим парочку примеров.

Будем рассматривать функционалы вида

$$L_A(\gamma) := \int_\gamma A(\dot\gamma)\mathrm{d}t$$

на псевдоримановой плоскости $\mathbb{R}^{1,1} = (\mathbb{R}^2, g = \mathrm{d}x^2 - \mathrm{d}y^2)$. Две конкретных функции, которые нас будут интересовать - это $A(\dot\gamma) = g(\dot\gamma, \dot\gamma)$, и $B(\dot\gamma) = \sqrt{g(\dot\gamma, \dot\gamma)}$ (берем главную ветвь).

Нас будет интересовать задача поиска инфинума $L_A(\gamma)$ по всем кривым $\gamma$, соединяющим две данные точки.

Очевидно, что функция $B(\dot\gamma)$ не подходит для данной задачи, потому что ее значения в общем случае будут комплексными, а для комплексных чисел нельзя определить порядок, совместимый с операциями поля. Поэтому ограничимся рассмотрением функции $A(\dot\gamma)$.

Пример: Рассмотрим точки $(0, 0)$ и $(1, 1)$. Рассмотрим семейство кривых (путей) $\gamma_r$, изображенных на следующем рисунке:



Здесь оси $x$ и $y$ расположены обычным образом, а изображенная арка - кусок окружности радиуса $r$. Кривая из точки $(0, 0)$ и входит в точку $(1, 1)$, в качестве параметризации возьмем естественную параметризацию в евклидовой метрике $dx^2 + dy^2$, "нормированную" так, чтобы $\gamma_r(0) = (0, 0),\ \gamma_r(1) = (1, 1)$.

Легко показать, что $\operatorname{inf}_{r > 1} L_A(\gamma_r) = -\infty$. Это следует из того, значение $A$ вдоль арки везде отрицательное и растет не менее, чем линейно с увеличением $r$, а вдоль прямых оно нулевое. Обратите внимание, что кривые $\gamma_r$ - лишь кусочно гладкие. Это не мешает, потому что каждую непрерывную кривую можно сколь угодно точно приблизить гладкой кривой (в равномерной норме, порожденной евклидовой нормой на $\mathbb{R}^2$), а функционал $L_A$ непрерывен.

Заметим, что отразив кривые $\gamma_r$ относительно прямой $y = x$, мы получим пример семейства кривых между теми же точками с бесконечным супремумом функционала $L_A$.

Time, кушайте

[Руст]

Вы поменяли вариационную задачу заменив $ds$ на $ds^2$. Это бессмысленно. Допустим мы перешли к другому параметру oт $\tau$ к $\tau_1$ в функционале $\int_A^BL(\tau)d\tau$, где точки $A,B$ на пространстве времени (не зависят от введения параметра). Тогда взяв параметр $\tau_1=a\tau$ мы получим значение функционала отличающееся от исходного, если зависимость $L$ от производной $\gamma$ (кривой) не является однородной функцией первой степени. Меняя постоянную $a$ от $-\infty$ до $\infty$ вы получите соответствующий результат для любой метрики $ds$ не являющейся однородной функции первой степени. В этом бессмысленность рассматриваемого вами $ds^2$ вместо $ds$.
Что касается того, что не все пути дают измеримые значения функционала, то это нормально с точки зрения физики, где не разрешены скорости выше скорости света и движение в обратную сторону по времени. Соответственно экстремум ищется только среди разрешенных путей.

[Kallikanzarid]

Я знаю, что это бессмысленно (и не инвариантно относительно репараметризаций), но альтернатива вообще не допускает сравнивание значений функционала.

-- Вс май 01, 2011 17:35:51 --

Руст в сообщении #440584 писал(а):

Что касается того, что не все пути дают измеримые значения функционала

Что вы имеете ввиду?

ЗЫ: давайте вести обсуждение в терминах дифференциальной геометрии, не привлекая физическую интерпретацию, ок?

[Munin]

Руст в сообщении #440584 писал(а):

Что касается того, что не все пути дают измеримые значения функционала, то это нормально с точки зрения физики, где не разрешены скорости выше скорости света и движение в обратную сторону по времени. Соответственно экстремум ищется только среди разрешенных путей.

Как раз с точки зрения физики - экстремум ищется среди всех путей, в том числе и движущихся на отдельных участках в обратную сторону по времени. Именно таким образом в КТП в интеграле по траекториям возникают античастицы и процессы рождения и уничтожения пар в вакууме.

[Руст]

Допустим ввели систему координат $t,x$ и рассмотрим точки $A(o,o), B(2,1)$ и рассмотрим функционал $\int_A^Bds, \ \ ds=\sqrt{dt^2-dx^2}$. Я имел ввиду, что экстремум ищется не по всем кривым, соединяющим точки $A,B$ а только среди тех, для которых определен $ds$ в каждой точке (не выходя за комплексную область), т.е. наклон не превышает 1 по абсолютной величине.

-- Вс май 01, 2011 14:01:30 --

Цитата:

Как раз с точки зрения физики - экстремум ищется среди всех путей, в том числе и движущихся на отдельных участках в обратную сторону по времени. Именно таким образом в КТП в интеграле по траекториям возникают античастицы и процессы рождения и уничтожения пар в вакууме.

Если так пробегая путь многократно туда сюда максимум доводится до бесконечности. А при ограничении на указанные пути максимум существует и соответствует прямой соединяющей эти точки. Минимум среди разрешенных ноль.

[Kallikanzarid]

Руст в сообщении #440601 писал(а):

Я имел ввиду, что экстремум ищется не по всем кривым, соединяющим точки $A,B$ а только среди тех, для которых определен $ds$ в каждой точке (не выходя за комплексную область)

Можете привести пример кривой, в некоторой точке которой $\mathrm{d}s$ не определен?

-- Вс май 01, 2011 18:13:58 --

ЗЫ: я посмотрел, на геодезических в псевдоримановом пространстве функционал длины принимает только вещественные и чисто мнимые значения (легко доказывается по одной из формул отсюда), так что по ним можно хоть в каком-то смысле искать максимум (хотя как вводить порядок на чисто мнимых, я не могу сказать: канонического способа нет, допустимы любые способы, совместимые со сложением, ИМХО). Однако в случае плоскости любые две точки соединяет единственная геодезическая (прямая, ЕМНИП), так что сравнение становится бессмысленным

[Руст]

Цитата:

Можете привести пример кривой, в некоторой точке которой $\mathrm{d}s$ не определен?

Путь в плоскости $(t,x)$ от $A(0,0)$ до $B(2,1)$. Можно пройти например так вначале до $C=(1,2)$ потом до B.

[Kallikanzarid]

Руст в сообщении #440615 писал(а):

Цитата:

Можете привести пример кривой, в некоторой точке которой $\mathrm{d}s$ не определен?

Путь в плоскости $(t,x)$ от $A(0,0)$ до $B(2,1)$. Можно пройти например так вначале до $C=(1,2)$ потом до B.

Можете на этом примере пояснить, что вы понимаете под неопределенностью $\mathrm{d}s$, я не понимаю, что вы имеете ввиду.

[Руст]

Когда двигаемся от А к С $dx=2dt$, соответственно $ds=\sqrt{dt^2-4dt^2}=|dt|\sqrt{-3}$. D В этой части $ds$ не определен по сути.

[Kallikanzarid]

То есть вы запрещаете комплексные длины? Это здравая идея, но у меня сложилось впечатление, что вы с ними работаете:

Руст в сообщении #440601 писал(а):

а только среди тех, для которых определен $ds$ в каждой точке (не выходя за комплексную область)

Плюс еще Time что-то такое писал, хотя он много что писал :)))

Тогда да, безусловно все хорошо определено и инфинум конечен (и больше нуля), но можно поставить крест на идее ввести какое-то обобщение структуры метрического пространства на псевдоевклидовых пространствах (а значит, и на аналоге метрической топологии).

Что касается супремума, то я даже не знаю :) Если рассматривать только кривые со всюду времяподобными касательными векторами, то вроде бы он должен быть конечен, но это нужно проверять.

[Руст]

Цитата:

Что касается супремума, то я даже не знаю :) Если рассматривать только кривые со всюду времяподобными касательными векторами, то вроде бы он должен быть конечен, но это нужно проверять.

Он конечен, если существует. Только существует не для всяких двух точек.