вычислить производную

[OcbMuHor]

Есть $\[\left\{ \begin{gathered} y = {(C - f{(x)^{g(x)}})^3} \hfill \\ f(x) = e \hfill \\ g(x) = \sin x \hfill \\ \end{gathered} \right.\]$
Не понимаю как быть с константой (для них операция сложения в правилах не упоминается). Или следует сначала разложить куб разницы (константа все равно присутствует), или этого делать не стоит, а перемножить степени и избавиться от куба?

[Tlalok]

Вы что-нибудь слышали о производной сложной функции (или может быть композиции функций)?

OcbMuHor в сообщении #440324 писал(а):

Не понимаю как быть с константой (для них операция сложения в правилах не упоминается).

В каких правилах?

[ewert]

OcbMuHor в сообщении #440324 писал(а):

Не понимаю как быть с константой (для них операция сложения в правилах не упоминается).

Интересно. А константа -- это что, уже и не функция?...

(между прочим, $e$ -- это тоже константа, но вот она Вас почему-то не смущает)

[Dan B-Yallay]

Extended Power Rule:

$$ \dfrac {d}{dx} [g(x)]^n}= n g^{n-1}(x)\cdot \dfrac{d}{dx}g(x)$$

[alex1910]

Dan B-Yallay в сообщении #440339 писал(а):

Extended Power Rule:

$$ \dfrac {d}{dx} [g(x)]^n}= n g^{n-1}(x)\cdot \dfrac{d}{dx}g(x)$$

Если для отдельных функций плодить именные правила дифференцирования - проще раз и навсегда опубликовать таблицу:)

Для дифференцирования вполне достаточно формул производных суммы, произведения, сложной функции и (изредка) - обратной функции.

[Dan B-Yallay]

alex1910 в сообщении #440346 писал(а):

Dan B-Yallay в сообщении #440339 писал(а):

Extended Power Rule:

$$ \dfrac {d}{dx} [g(x)]^n}= n g^{n-1}(x)\cdot \dfrac{d}{dx}g(x)$$

Если для отдельных функций плодить именные правила дифференцирования - проще раз и навсегда опубликовать таблицу:)

Для дифференцирования вполне достаточно формул производных суммы, произведения, сложной функции и (изредка) - обратной функции.

Это не моё личное изобретение. Так учат во многих университетах (в Америке по крайней мере).
---
ПС А мне вообще говоря хватает стандартных правил.

[alex1910]

Dan B-Yallay в сообщении #440351 писал(а):

alex1910 в сообщении #440346 писал(а):

Dan B-Yallay в сообщении #440339 писал(а):

Extended Power Rule:

$$ \dfrac {d}{dx} [g(x)]^n}= n g^{n-1}(x)\cdot \dfrac{d}{dx}g(x)$$

Если для отдельных функций плодить именные правила дифференцирования - проще раз и навсегда опубликовать таблицу:)

Для дифференцирования вполне достаточно формул производных суммы, произведения, сложной функции и (изредка) - обратной функции.

Это не моё личное изобретение. Так учат во многих университетах (в Америке по крайней мере).
---
ПС А мне вообще говоря хватает стандартных правил.

Да знаю я. Американская математика для школьников и для нематематиков-студентов - это набор рецептов без мотивировки и доказательств. Этакая "уличная магия".

[ewert]

Dan B-Yallay в сообщении #440351 писал(а):

Так учат во многих университетах (в Америке по крайней мере).

Так и тянет обозвать американцев извращенцами, но в определённом смысле они правы. Как показывает опыт, наибольшие затруднения у студентов обычно вызывает применение правила дифференцирования сложной функции именно к функциям вида $\big(g(x)\big)^n$. Это выражение настолько простое, что они просто не воспринимают степень как частный случай функции.

[arseniiv]

(Оффтоп)

Предлагаю для убивания сковывающей простоты перед дифференцированием заменять $x + y,\, xy,\, x^y,\, -x,\, x^{-1}$ на $\mathsf s(x, y),\, \mathsf m(x, y),\, \mathsf p(x, y),\, \mathsf u(x),\, \mathsf r(x)$.

$\mathsf D\mathsf s(x, \mathsf p(x, 2)) = \mathsf s(\mathsf Dx, \mathsf D\mathsf p(x, 2)) = \mathsf s(1, \mathsf m(\mathsf m(2, x)\mathsf Dx)) = \mathsf s(1, \mathsf m(2, x))$

[alex1910]

ewert в сообщении #440365 писал(а):

Dan B-Yallay в сообщении #440351 писал(а):

Так учат во многих университетах (в Америке по крайней мере).

Так и тянет обозвать американцев извращенцами, но в определённом смысле они правы. Как показывает опыт, наибольшие затруднения у студентов обычно вызывает применение правила дифференцирования сложной функции именно к функциям вида $\big(g(x)\big)^n$. Это выражение настолько простое, что они просто не воспринимают степень как частный случай функции.

А что делать с другими простыми выражениями? Тоже приводить формулу и заставлять ее заучивать? Боюсь, при таком подходе студенты не научатся дифференцировать никогда.

[ewert]

alex1910 в сообщении #440376 писал(а):

А что делать с другими простыми выражениями? Тоже приводить формулу и заставлять ее заучивать?

Но ведь и мы же всё равно именно так и поступаем. Скажите на милость, что делает в таблице производных функция $a^x$, когда там уже есть $e^x$? Аналогично с логарифмами. Аналогично: зачем в таблице $\int\frac{dx}{x^2+a^2}$, когда за глаза хватило бы $\int\frac{dx}{x^2+1}$? И возвращаясь к производным: зачем включать в таблицу производных $C'=0$ и одновременно формулировать правило $(C\,f(x))'=C\,f'(x)$, когда они дублируют друг друга?

Пресловутая Extended Power -- ровно из того же разряда. Это всё дело вкуса, традиций и выбора методики.

[gris]

Может быть и Марка Львовича сжечь?
Можно я продифференцирую? А то чего-то руки чешутся.

[OcbMuHor]

Tlalok в сообщении #440336 писал(а):

Вы что-нибудь слышали о производной сложной функции (или может быть композиции функций)?

Да, я осведомлен об этом из курса дискретной математики (композиция). И прекрасно сейчас понимаю о чем идет речь, а вот "природа" объекта изучения пока непонятна. Кто тут "острый" (это не к Вам -Tlalok), острите в научной периодике своими достижениями. Там и оценят и раскритикуют. А по существу практически ничего не сказано.
От слов к делу $\[{(4 - {e^{\sin x}})^3}^' = f({f_1}(x) - {f_2}({f_3}(x))) = f( - {e^{\sin x}}\cos x) = 3{({e^{\sin x}}\cos x)^2}\]$ так?

[Dan B-Yallay]

нет не так. Надо

$$\big [ (C+f^g)^n\big]'=n (C+f^g)^{n-1}\cdot (f^g)'$$

[Tlalok]

Может так немного понятнее будет.
${\left[ {{{\left( {4 - {e^{\sin x}}} \right)}^3}} \right]^\prime } = {\left[ {u{{\left( x \right)}^3}} \right]^\prime } = 3u{\left( x \right)^2} \cdot u'\left( x \right) = ...$