Ряд Фурье

[junior200891]

Здравствуйте!! проверьте пожалуйста решение задачи.
Задание:
Разложите функцию f(x) в ряд Фурье по косинусам,продолжив ее в симметричный интервал. Нарисовать график суммы ряда S(x). Найти значение суммы в указанных точках.
$f(x) = \frac{(-x)}{3}+2, 0<x\le 3, S(2);S(11)$
Решение:
Разложим функцию $f(x) = \frac{(-x)}{3}+2 $ в ряд Фурье на промежутке $0<x\le 3$
Здесь $x_0=0, T=3$. Функция четная $b_n=0$

$a_0=\frac{(1)}{3} $$\int_{0}^{3} (\frac{(-x)}{3}+2) dx=\frac{(1)}{3}(-\frac{(x^2)}{6}+2x)|_{0}^{3}=\frac{(1)}{3}(-\frac{(3)}{2}+6)=5\frac{3}{6}$

$a_n=\frac{2}{3}\int_{0}^{3}(-\frac{x}{3}+2)*cos(n \pi x)dx=(-\frac{x}{3}+2)*\frac{sin(n \pi x)}{n \pi}|_{0}^{3}- \int_{0}^{3} \frac{sin(n \pi x)}{n \pi}= 0-0+\frac{cos(n \pi x)}{(n \pi)^2}|_{0}^{3}=\frac{2}{3}(\frac{cos(n \pi x)}{(n \pi)^2}-\frac{1}{(n \pi)^2})=\frac{2*(-1)^n-1}{3*(n \pi)^2}$

Получаем Ряд Фурье

$S(x)=5\frac{3}{6}+\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{2*(-1)^n-1}{3*(n \pi)^2} *cos(n \pi x)$

[Tlalok]

Коэффициенты ряда Фурье найдены не верно.

[junior200891]

уточните пожалуйста где ошибка?

[Dan B-Yallay]

При интегрировании по частям потерялся коэффициент у интеграла.

[junior200891]

$a_0=\frac{(1)}{3} $$\int_{0}^{3} (\frac{(-x)}{3}+2) dx=\frac{(1)}{3}(-\frac{(x^2)}{6}+2x)|_{0}^{3}=\frac{(1)}{3}(-\frac{(3)}{2}+6)=\frac{11}{6}$

больше не вижу!!

[Dan B-Yallay]

$a_n=\frac{2}{3}\int_{0}^{3}(-\frac{x}{3}+2)*cos(n \pi x)dx=(-\frac{x}{3}+2)*\frac{sin(n \pi x)}{n \pi}|_{0}^{3}- \textcolor{blue}{k}\int_{0}^{3} \frac{sin(n \pi x)}{n \pi}...$

-1/3 куда подевалась?

[ewert]

junior200891 в сообщении #440319 писал(а):

$a_0=\frac{(1)}{3} $$\int_{0}^{3} (\frac{(-x)}{3}+2) dx=\frac{(1)}{3}(-\frac{(x^2)}{6}+2x)|_{0}^{3}=\frac{(1)}{3}(-\frac{(3)}{2}+6)=\frac{11}{6}$

Всё равно неверно. Этот интеграл вообще не обязательно было считать явно: это -- площадь трапеции с основаниями 1 и 2 и с высотой 3.

[junior200891]

ведь $K=\frac{2}{3}$, если да так он ведь дальше появляется! я забыл его туда написать(

Все понял.

-- Сб апр 30, 2011 17:16:44 --

ewert в сообщении #440321 писал(а):

junior200891 в сообщении #440319 писал(а):

$a_0=\frac{(1)}{3} $$\int_{0}^{3} (\frac{(-x)}{3}+2) dx=\frac{(1)}{3}(-\frac{(x^2)}{6}+2x)|_{0}^{3}=\frac{(1)}{3}(-\frac{(3)}{2}+6)=\frac{11}{6}$

Всё равно неверно. Этот интеграл вообще не обязательно было считать явно: это -- площадь трапеции с основаниями 1 и 2 и с высотой 3.

не понимаю((

[ewert]

junior200891 в сообщении #440323 писал(а):

не понимаю((

Интеграл -- это площадь под графиком. А под этим графиком -- трапеция.

Когда что-то считается элементарными средствами, надо ими и считать. Хотя бы не для дяди, а для себя, в качестве самопроверки.

[junior200891]

$a_n=\frac{2}{3}\int_{0}^{3}(-\frac{x}{3}+2)*cos(n \pi x)dx=(-\frac{x}{3}+2)*\frac{sin(n \pi x)}{n \pi}|_{0}^{3}+\frac{1}{3} \int_{0}^{3} \frac{sin(n \pi x)}{n \pi}= 0-0-\frac{1}{3} \frac{cos(n \pi x)}{(n \pi)^2}|_{0}^{3}=\frac{2}{3}*\frac{1}{3}(-\frac{cos(n \pi x)}{(n \pi)^2}-\frac{1}{(n \pi)^2})=-\frac{2*(-1)^n-1}{9*(n \pi)^2}$

так??

[Tlalok]

Вы вообще действия с дробями умеете выполнять?!!!
$\frac{(1)}{3}(-\frac{(3)}{2}+6)=\frac{11}{6}$
Я, например, как ни стараюсь, не могу получить $\dfrac{11}{6}$

[Dan B-Yallay]

junior200891 в сообщении #440329 писал(а):

$a_n=\frac{2}{3}\int_{0}^{3}(-\frac{x}{3}+2)*cos(n \pi x)dx=(-\frac{x}{3}+2)*\frac{sin(n \pi x)}{n \pi}|_{0}^{3}+\frac{1}{3} \int_{0}^{3} \frac{sin(n \pi x)}{n \pi}= 0-0-\frac{1}{3} \frac{cos(n \pi x)}{(n \pi)^2}|_{0}^{3}=\frac{2}{3}*\frac{1}{3}(-\frac{cos(n \pi x)}{(n \pi)^2}-\frac{1}{(n \pi)^2})=-\frac{2*(-1)^n-1}{9*(n \pi)^2}$

так??

$a_0=3\dfrac{2+1}{2}$

[junior200891]

$a_0=\frac{(1)}{3} $$\int_{0}^{3} (\frac{(-x)}{3}+2) dx=\frac{(1)}{3}(-\frac{(x^2)}{6}+2x)|_{0}^{3}=\frac{(1)}{3}(-\frac{(3)}{2}+6)=\frac{3}{2}$

извините, сам не понимаю как не заметил такую ошибку((

[ewert]

Dan B-Yallay в сообщении #440333 писал(а):

$a_0=3\dfrac{2+1}{2}$

Это не $a_0$.

junior200891 в сообщении #440338 писал(а):

извините, сам не понимаю как не заметил такую ошибку((

Теперь правильно.

[Tlalok]

Dan B-Yallay
Со Всем уважением, но у Вас тоже результат не верный.
Если по Всем правилам, то $a_0=3$, но в данном случае, если ТС сознательно поставил $\dfrac{1}{3}$ перед интегралом, вместо $\dfrac{2}{3}$, можно считать, что $a_0=\dfrac{3}{2}$.