2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Сегмент круга
Сообщение28.04.2011, 15:01 
Аватара пользователя


08/08/10
358
Встретил интересную олимпиадную задачу, интересно какими способами можно её решить. Если у вас есть немного свободного времени, то напишите Ваше решения, буду благодарен)
Задача - В данный сегмент круга вписать прямоугольник наибольшей площади.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сегмент круга
Сообщение28.04.2011, 17:16 
Заблокирован
Аватара пользователя


17/06/09

2213
Естественно, что точка $A$ - пересечения $a$ - стороны и $h$ - высоты искомого прямоугольника будет лежать на кривой, выражаемой функцией $f(x)$ - кривой сегмента. Тогда, если полусторона $\dfrac a2$ - абсцисса, то высота $h=f\left(\dfrac a2\right)$ - ордината. Следовательно, нужен экстремум $\dfrac a2 f\left(\dfrac a2\right)$.

P.S. Так можно найти прямоугольник наибольшей площади под любой $f(x)$.

В случае с сегментом $f(x)=\sqrt{R^2-x^2}-k$, приравнивая производную к нулю, получаем уравнение:
$R^2-2x^2-k\sqrt{R^2-x^2}=0$, что даёт
$x=\dfrac14\sqrt{8R^2-2k^2\pm2k\sqrt{k^2+8R^2}}$ - полусторона искомого прямоугольника.
где $k=R\cos\left(\dfrac{\alpha}{2}\right)$

 Профиль  
                  
 
 Re: Сегмент круга
Сообщение28.04.2011, 18:14 
Заслуженный участник


08/04/08
8564

(Оффтоп)

в общем, просто матан

 Профиль  
                  
 
 Re: Сегмент круга
Сообщение28.04.2011, 18:37 
Аватара пользователя


08/08/10
358
А без использования производных и матана?
Для доказательства хватит неравенства Коши)

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 4 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: YandexBot [bot]


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group