Как получит вариацию Лагранжиана?

[muvasilenko]

Предисловие:
имеется производственная функция $f(x,y)=a \sqrt {xy} $
Потребление составляет: $\rho(t)a\sqrt{xy}$
Накопление составляет: $ (1-\rho(t))a\sqrt{xy} $

Основная задача:
Начальные условия:
$ \left\{ \begin{array}{l} \dot x=(1-\rho(t))a\sqrt{xy}-\mu x(t); x(0)=x_0\\ \dot y=\alpha\rho(t)a\sqrt{xy}-\beta y(t); y(0)=y_0 \end{array} \right. $

Функционал:
$ J=\int\limits_{0}^{T} a\sqrt{xy}dt + \gamma y(T) \to \max\limits_{\rho,x,y} $

Запишем Лагранжиан:
$ L=\int\limits_{0}^{T} \left[a\sqrt{xy}+\lambda(t)(\dot x-(1-\rho(t))a\sqrt{xy}+\mu x(t))+\eta(t)(\dot y-\alpha\rho(t)a\sqrt{xy}+\beta y(t)) \right]dt $

Необходимо написать вариацию данного Лагранжиана:

Общий вид (вроде бы должен быть таким):
$ \delta L=\int\limits_{0}^{T} \left[ Q_1(\lambda\eta)\delta\rho+Q_2(\lambda\eta)\delta x +Q_3(\lambda\eta)\delta y \right]dt $

Вот как именно должна выглядеть вариация этого Лагранжиана??

[muvasilenko]

неужели никто не может подсказать?
или сформулировал не верно??

[MaximVD]

muvasilenko
Вы неправильно выписали общий вид вариации. Судя по предисловию, функции $x$, $y$ и $\rho$ независимы, поэтому надо выписывать вариации для них отдельно.

Вариация функционала получается очень просто. Запишу в общем виде. Пусть есть функция $f(x_1, y_1, \ldots, x_n, y_n)$ и функционал

$$ L(x_1, \ldots, x_n) = \int_0^T f(x_1(t), \dot{x}_1(t), \ldots, x_n(t), \dot{x}_n(t))dt $$

Вариация функционала по переменной $x_1$ это его производная Гато по этой переменной. Чтобы её найти, выпишем

$$ \frac{1}{\alpha}\left(L(x_1 + \alpha h, x_2, \ldots, x_n) - L(x_1, \ldots, x_n)\right) $$

и найдём предел при $\alpha$ стремящемся к нулю. Если функция $f$ достаточно "хорошая", то, воспользовавшись теоремой о дифференцировании под знаком интеграла, получим

$$ L_{x_1}(x_1, \ldots, x_n) h = \int_0^T \left(\frac{\partial f}{\partial x_1}(x_1(t), \dot{x}_1(t) \ldots, x_n(t), \dot{x}_n(t)) h(t) + \frac{\partial f}{\partial y_1}(x_1(t), \dot{x}_1(t) \ldots, x_n(t), \dot{x}_n(t)) \dot{h}(t) \right) dt. $$

Теперь осталось только проинтегрировать второе (либо первое) слагаемое по частям.

Всё что вам нужно можно найти в книге Иоффе, Тихомиров "Теория экстремальных задач".

[muvasilenko]

MaximVD спасибо за ответ!