вычислить предел

[OcbMuHor]

Дано: $\[\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} = \frac{{\sqrt {{x^2} + 4} - 2}}{{\sqrt {{x^2} + 1} - 1}}\]$
Нужно вычислить без применения правила Лопиталя. С ним все понятно, $\[\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} = \frac{{\sqrt {{x^2} + 4} - 2}}{{\sqrt {{x^2} + 1} - 1}} = 0.5\]$ ечли не вдаваться в подробности решения. Если домножать дробь на корни для вида $\[{a^2} - {b^2} = (a - b)(a + )\]$ то получаем в итоге 0 в числителе или знаменателе.
???

[svv]

$\frac {\sqrt {x^2 + 4} - 2} {\sqrt {x^2 + 1} - 1} = 2 \frac {\sqrt {1+ (x/2)^2} - 1} {\sqrt {1+ x^2} - 1} = 2 \frac {1+\frac 1 2 (x/2)^2 + ... - 1} {1+\frac 1 2 x^2 + ... - 1}$

[Joker_vD]

Раз нельзя Лопиталем, то, боюсь, нельзя и Тейлором... Ну что ж, тогда попробуйте домножить числитель и знаменатель на $(\sqrt{x^2+4}+2)(\sqrt{x^2+1}+1)$.

[OcbMuHor]

Joker_vD в сообщении #439163 писал(а):

Раз нельзя Лопиталем, то, боюсь, нельзя и Тейлором... Ну что ж, тогда попробуйте домножить числитель и знаменатель на $(\sqrt{x^2+4}+2)(\sqrt{x^2+1}+1)$.

Нет. Таким образом опять же получится неопределенность вида $\[\frac{0}{0}\]$. Я даже пробовать не стал, при попытке представить числитель либо знаменатель к виду $\[({a^2} - {b^2}) = (a - b)(a + b)\]$ получаем ноль либо в числителе, либо в знаменателе, а в Вашем примере и там и там.

svv в сообщении #439161 писал(а):

$\frac {\sqrt {x^2 + 4} - 2} {\sqrt {x^2 + 1} - 1}= 2 \frac {\sqrt {1+ (x/2)^2} - 1} {\sqrt {1+ x^2} - 1}= 2 \frac {1+\frac 1 2 (x/2)^2 + ... - 1} {1+\frac 1 2 x^2 + ... - 1}$

Можно подробней что это и каким образом получается каждый следующий шаг (по каким правилам, теоремам)?

[Dan B-Yallay]

$\sqrt{x^2+4}-2=\sqrt{4+x^2}-2=\sqrt{4(1+(x/2)^2)}-2=...$
+ Taylor

[OcbMuHor]

Так, понятно, а почему не 2, а не -2?

[Dan B-Yallay]

Уже исправил.

[OcbMuHor]

Dan B-Yallay в сообщении #439234 писал(а):

Уже исправил.

Я про раскрытие корня. Почему раскрывая $\[\sqrt 4 \]$ мы имеем только один корень =2, а -2 опускаем. Тоже касается и дальнейшего раскрытия квадратных корней. И что за пустота такая полиномическая троеточием? Короче что это? метод способ.

[Someone]

OcbMuHor в сообщении #439230 писал(а):

Joker_vD в сообщении #439163 писал(а):

Раз нельзя Лопиталем, то, боюсь, нельзя и Тейлором... Ну что ж, тогда попробуйте домножить числитель и знаменатель на $(\sqrt{x^2+4}+2)(\sqrt{x^2+1}+1)$.

Нет. Таким образом опять же получится неопределенность вида $\[\frac{0}{0}\]$. Я даже пробовать не стал, при попытке представить числитель либо знаменатель к виду $\[({a^2} - {b^2}) = (a - b)(a + b)\]$ получаем ноль либо в числителе, либо в знаменателе, а в Вашем примере и там и там.

Как раз именно таким способом этот предел проще всего и вычисляется. Не надо только раскрывать скобки, не имеющие отношения к формуле $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$.

-- Ср апр 27, 2011 20:44:21 --

OcbMuHor в сообщении #439236 писал(а):

Я про раскрытие корня. Почему раскрывая $\[\sqrt 4 \]$ мы имеем только один корень =2, а -2 опускаем.

По определению арифметического квадратного корня.

[Dan B-Yallay]

Наверное потому что знак справа от равенства должен совпадать со знаком слева, поэтому берем только положительное значение корня.
А многоточие - это чтобы Вы заполнили самостоятельно. После того как получили $ 2 \frac {\sqrt {1+ (x/2)^2} - 1} {\sqrt {1+ x^2} - 1}$ раскладываете числитель и знаменатель в ряд Тейлора. Вот собственно и все.

[Joker_vD]

OcbMuHor в сообщении #439230 писал(а):

Нет. Таким образом опять же получится неопределенность вида $\frac00$. Я даже пробовать не стал.

А вы попробуйте, я так сделал — и не прогадал. В числителе и знаменателе шикарно сократились иксы в квадрате, не оставив никакой неопределенности.

Я вообще стараюсь делать так: давать советы только после того, как сам смогу решить пример.

[OcbMuHor]

Цитата:

Как раз именно таким способом этот предел проще всего и вычисляется.

$\[\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{(\sqrt {{x^2} + 4} - 2)(\sqrt {{x^2} + 4} + 2)(\sqrt {{x^2} + 1} + 1)}}{{(\sqrt {{x^2} + 1} - 1)(\sqrt {{x^2} + 1} + 1)(\sqrt {{x^2} + 4} + 2)}} = \frac{{({x^2} + 4 - 4)(\sqrt {{x^2} + 1} + 1)}}{{({x^2} + 1 - 1)(\sqrt {{x^2} + 4} + 2)}} = \frac{{{x^2}\sqrt {{x^2} + 1} + {x^2}}}{{{x^2}\sqrt {{x^2} + 4} + 2{x^2}}} = \frac{{{x^2}\sqrt {{x^2} + 1} + 1}}{{{x^2}\sqrt {{x^2} + 4} + 2}} = \frac{1}{2}\]$
Так? Результат правильный...

Цитата:

это чтобы Вы заполнили самостоятельно

Ряд Тейлора. спасибо смотрим, читаем, учим.

[Someone]

OcbMuHor в сообщении #439245 писал(а):

Так? Результат правильный...

Результат правильный, а решение безобразное: начала нет, знак предела сразу потерян, зачем-то раскрыта последняя пара скобок (чтобы тут же вынести $x^2$ обратно?), скобки в предпоследней дроби потеряны.

P.S. Употреблять команду \mathop при написании пределов не нужно.

[OcbMuHor]

Someone в сообщении #439252 писал(а):

OcbMuHor в сообщении #439245 писал(а):

Так? Результат правильный...

Результат правильный, а решение безобразное: начала нет, знак предела сразу потерян, зачем-то раскрыта последняя пара скобок (чтобы тут же вынести $x^2$ обратно?), скобки в предпоследней дроби потеряны.

P.S. Употреблять команду \mathop при написании пределов не нужно.

Набираю формулу и копи\паст, в синтаксис LaTeX не вникая.
Ведь если не раскрыть скобки, то получим 0/0
Попробую вот так:
$\[{\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt {{x^2} + 4} - 2}}{{\sqrt {{x^2} + 1} - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{(\sqrt {{x^2} + 4} - 2)(\sqrt {{x^2} + 4} + 2)(\sqrt {{x^2} + 1} + 1)}}{{(\sqrt {{x^2} + 1} - 1)(\sqrt {{x^2} + 4} + 2)(\sqrt {{x^2} + 1} + 1)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{({x^2} + 4 - 4)(\sqrt {{x^2} + 1} + 1)}}{{({x^2} + 1 - 1)(\sqrt {{x^2} + 4} + 2)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{x^2}\sqrt {{x^2} + 1} + {x^2} + 4\sqrt {{x^2} + 1} + 4 - 4\sqrt {{x^2} + 1} - 4}}{{{x^2}\sqrt {{x^2} + 4} + 2{x^2} + \sqrt {{x^2} + 4} + 2 - \sqrt {{x^2} + 4} - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{x^2}\sqrt {{x^2} + 1} + 1}}{{{x^2}\sqrt {{x^2} + 4} + 2}} = \frac{1}{2}\]$

[Joker_vD]

OcbMuHor
Вы правда не видите, что $(x^2+1-1) = (x^2+4-4)$, и можно на него сократить без раскрытия?