Решение уравнений Максвелла

[sithif]

Привет,

давно не практиковался с классической теорией электромагнитного поля, поэтому боюсь наделать глупых ошибок. Посмотрите пожалуйста.
Решаю такую задачу. Бесконечно тонкий пучок частиц с распределением:

$\rho = \sum\limits_{m=0}^\infty \rho_m$
$\vec j = \sum\limits_{m=0}^\infty \vec j_m$

где

$ \rho_m = \frac {I_m} {\pi a^{m+1} (1+\delta_{m0})} \delta(s-ct) \delta (r-a) $
$\vec j_m = c \rho \hat s$

движется в вакууме со скоростью света вдоль направления$ \hat s$. Необходимо определить поля. $I_m$ - m-тый момент пучка (считаем постоянным), $\delta_{m0}=1$ для $ m=1$ иначе ноль. Пучок круглый с радиусом a.

Задачу эту нужно решить используя уравнения Максвелла, так как на самом деле интересен случай ограниченно релятивиский, но начнем с этого. Потом уже можно будет добавить, что движение происходит в цилиндре с конечной проводимостью и тп.

В цилиндрической системе координат ур. Максвелла,

$ \frac 1 r \frac {\partial (r E_r)} {\partial r} + \frac 1 r \frac {\partial E_{\theta}} {\partial \theta} + \frac { \partial E_s} {\partial s} = 4 \pi \rho $

$\frac 1 r \frac {\partial B_s} {\partial \theta} -\frac {\partial B_\theta} {\partial s} - \frac 1 c \frac {\partial E_r} {\partial t} = \frac {4 \pi} c j_r $

$\frac {\partial B_r} {\partial s} - \frac {\partial B_s} {\partial r} - \frac 1 c \frac {\partial E_\theta} {\partial t} = \frac {4 \pi} c j_\theta$

$\frac 1 r \frac {\partial { (r B_\theta)}} {\partial r} - \frac 1 r \frac {\partial B_r} {\partial \theta} - \frac 1 c \frac {\partial E_s} {\partial t} = \frac {4 \pi} c j_s$

$\frac 1 r \frac {\partial (r B_r)} {\partial r} + \frac 1 r \frac {\partial B_\theta} {\partial \theta} + \frac {\partial B_s} {\partial s} = 0 $

$\frac 1 r \frac {\partial E_s} {\partial \theta} - \frac {\partial E_\theta} {\partial s} + \frac 1 c \frac {\partial B_r} {\partial t} = 0$

$\frac {\partial E_r} {\partial s} - \frac {\partial E_s} {\partial r} + \frac 1 c \frac {\partial B_\theta} {\partial t} = 0$

$\frac 1 r \frac {\partial (r E_\theta)} {\partial r} - \frac 1 r \frac {\partial E_r} {\partial \theta} + \frac 1 c \frac {\partial B_s} {\partial t} = 0$

дальше не тривиальная часть заключается в том, что система обладает "translation" симметрией, т.е. зависимость от времени и продольной координаты s, дается как

$z = s - ct$

тогда, если ввести преобразования Фурье

$(E_r,E_s,B_\theta) = cos(m \theta) \int \limits_{-\infty}^{+\infty} \frac {dk} {2 \pi} e^{i k z} (\tilde E_r, \tilde E_s, \tilde B_\theta) $
$(E_\theta,E_r,B_s) = sin(m \theta) \int \limits_{-\infty}^{+\infty} \frac {dk} {2 \pi} e^{i k z} (\tilde E_\theta, \tilde B_r, \tilde B_s) $

после подстановки имеем,

$ \frac 1 r \frac {\partial (r \tilde E_r)} {\partial r} + \frac m r \tilde E_\theta + i k \tilde E_s = \frac {4 I_m} {a^{m+1}} (\delta_{m0}+1) \delta(r-a)$

$ \frac m r \tilde B_s - i k \tilde B_\theta + i k \tilde E_r = 0$

$ ik \tilde B_r - \frac {\partial {\tilde B_s}}{\partial r} + ik \tilde E_\theta = 0$

$ \frac 1 r \frac {\partial (r \tilde B_\theta) } {\partial r} - \frac m r \tilde B_r + ik \tilde E_s = \frac {4 \pi} c \frac {I_m c} {\pi a^{m+1} (\delta_m0 + 1)} \delta(r-a)$

$ \frac 1 r \frac {\partial (r \tilde B_r) } {\partial r} - \frac m r \tilde B_\theta + ik \tilde B_s = 0$

$ - \frac m r \tilde E_s - ik \tilde E_\theta - ik \tilde B_r = 0$

$ ik \tilde E_r - \frac {\partial \tilde E_s}{\partial r} - ik \tilde B_\theta$ = 0

$ \frac 1 r \frac {\partial (r \tilde E_\theta) } {\partial r} + \frac m r \tilde E_r - ik \tilde B_s = 0$

Рассмотрим теперь случай $m=0$, тогда $(E_\theta,E_r,B_s)=0$, и остается

$\tilde E_s = const = A $

$ \tilde B_\theta = \tilde E_r$

$\frac 1 r \frac {\partial (r \tilde E_\theta) } {\partial r} + ik A = \frac {4 q} a \delta(r-a) $
$I_0 = q$

так как система в вакууме (для идеально проводящей трубы это тоже верно), то $ A=0$, а поле для$ r>=a$

$\tilde E_r = \tilde B_\theta = \frac {2 q} r$

окончательно

$E_r = B_\theta = \frac {2 q} r \delta(r-a)$

так и должно быть.
Единственный вопрос здесь, можно ли доказать, что поле зависит от такой комбинации (естественно не для m=0) $z = s - ct$?

-- Вт апр 26, 2011 19:42:39 --

Теперь рассмотрим не рассмотрим случай, когда $\beta < 1$
как я думаю нужно заменить $s-ct $на $s- \beta ct $для заряда и домножить ток на$ \beta$.
Решение аналогичное, только при дифференцировании экспоненты будет появляться $ \beta$.

$ E_r = \frac {B_\theta} {\beta} = \frac {2q} r \delta (r-a)$ для $r>=a$.

Здесь что то не так, вроде все тоже верно, как думаете?
Например, $\beta << 1$, тогда нет магнитного поля.
Позже напишу случай для$ m>=1$.

[Munin]

Я уже $ \rho_m = \frac {I_m} {\pi a^{m+1} (1+\delta_{m0})} \delta(s-ct) \delta (r-a) $ не понимаю.

А если у вас заданы заряд и ток, найти поля можно не решая уравнения Максвелла, а более простыми способами, интегрируя поля единичных зарядов (в данном случае достаточно будет кулоновских полей, в общем случае используются потенциалы Лиенара-Вихерта).

[sithif]

Понимаю Ваше непонимание, с картинкой все выглядит куда проще.



Это просто мультипольное разложение. Бесконечно тонкое кольцо.

Да, Вы правы, источники заданы, они движутся, необходимо найти поля. Дело в том, что изначально источники (реальные для данной задачи) удобнее раскладывать именно в такие ряды. К тому же, масштаб r мал, поэтому достаточно нескольких членов разложения, а поточечное интегрирование даст конечно точное решение в виде интеграла, но эти интегралы с большой вероятностью браться не будут, особенно, если источник не симметричный и тп. Для меня важно иметь аналитические выражения, с ними можно быстро работать.

-- Вт апр 26, 2011 23:20:25 --

Для случая$ m>=1$ и$ \beta = 1$ можно получить,

$i k ( \tilde E_r - \tilde B_\theta) = \frac {\partial \tilde E_s}{\partial r}$

$i k ( \tilde E_r - \tilde B_\theta) = - \frac m r \tilde B_s $

откуда

$\frac {\partial \tilde E_s } {\partial r}= - \frac m r \tilde B_s}{}$

и аналогично

$\frac {\partial \tilde B_s} {\partial r} = - \frac m r \tilde E_s}{}$

решение здесь такое,

$\tild E_s = - \tilde B_s = A r^m$

и $ A=0 $ для свободного пространства и для бесконечной проводимости тоже.
Остальные компоненты поля тоже легко находятся. Проблемы наступают когда $ \beta $ не равна 1.

$i k ( - \tilde E_r + \beta \tilde B_\theta) = - \frac {\partial \tilde E_s}{\partial r}$

$i k ( - \beta \tilde E_r + \tilde B_\theta) = \frac m r \tilde B_s $

здесь уже не получается так просто выразить s-компоненты. Может кому бросится в глаза как можно разрешить для $ \beta $ не равного 1.

[Munin]

Так всё-таки r просто мал или бесконечно мал? По нему раскладываем или приравниваем к нулю?

И как распределены заряды на масштабах r? И чему равна их скорость, не c, надеюсь?

[sithif]

Скорее просто мал, r ~ 1.E-3 [m], это область где типично интересно знать поля. Да, по сути по нему и раскладываем. Продольные поля пропорциональны $r^m$, а поперечные $ r^{m-1} $ и $ r^{m+1}$ внутри кольца, также вне кольца, но еще с $r^{-m+1}$ членами.

Идеальное распределение от угла не зависит и пропорционально $1 - e^{-r^2}$, более реально оно имеет дипольный момент, т.е. не соосное с трубой, и квадрупольный, т.е. реальная форма не круглая. Более высокие моменты менее интересны.

Скорость пробных зарядов c, сам источник ~0.2c.

[Munin]

Вначале был пучок, теперь кольцо. Что там на самом деле?

sithif в сообщении #438992 писал(а):

Скорость пробных зарядов c

Хоть чуть-чуть сбавьте... безмассовых зарядов в природе не найдено.

[sithif]

Munin, посмотрите рисунок. Если Ваш пучок не похож на кольцо, то разложите его на кольца, раз для кольца (такого какое описывает $\rho_m$) можно найти решение, то и для других конфигураций тоже. Считайте, что там кольцо.

Да, не бывает, угадали. Можно считать, что скорость пробных зарядов 99.9% c.

[Munin]

sithif в сообщении #439014 писал(а):

Если Ваш пучок не похож на кольцо, то разложите его на кольца

Мой пучок обычно направлен вдоль оси, а ваше кольцо ориентировано поперёк. Всё-таки расскажите как-нибудь внятнее и подробнее, что и где у вас есть, и как и куда оно летит.

sithif в сообщении #439014 писал(а):

Можно считать, что скорость пробных зарядов 99.9% c.

Хорошо, спасибо. Думаю, некоторые параметры задачи будут сильно чувствительны как раз к этой величине 0,1 %. Надеюсь, вы морально готовы к этому.

[sithif]

Да, слайс ориентирован перпендикулярно, но движется только в продольном направлении, параметры его во время движения не меняются (имеется в виду, что пробный заряд с 0.99с успевает быстро пройти область существенного взаимодействия). Остальное на рисунке + аналитическое выражение для тока и заряда.

[Munin]

Понятно. Я просто никогда не слышал, чтобы такое называли "пучок". Вот "банч", "сгусток" - слышал.

[sithif]

Да, вопросы терминологии самые трудные.
Но вернемся к проблеме, как Вы относитесь к утверждению, что поля в задаче зависят от s,t как z=s-ct. Мне это не очевидно, как то хочется доказать. С другой стороны, пример аналогичной симметрии, это обычное уравнение переноса, на сколько я помню, там не доказывается это.

[Munin]

В вычислениях у вас полная ерунда получилась. Поле в виде дельта-функции - не бывает такого. И отсутствие зависимости от $x$ нелепо.

Случай $m\ne 0$ надо отбросить из зеркальной симметрии (для электрического поля) в плоскости, содержащей ось.

-- 27.04.2011 12:41:52 --

sithif в сообщении #439093 писал(а):

Да, вопросы терминологии самые трудные.

Да нет, они самые простые. Надо просто не стесняться подробно и простыми общепонятными словами излагать, что именно вы подразумеваете. Термины - это всего лишь способы законспектировать такие развёрнутые объяснения.

Я всё ещё не до конца в курсе, какую именно систему зарядов и пробных зарядов вы рассматриваете. Сгусток заряженных частиц в форме кольца, поперечно ориентированного, у вас движется со скоростью 0,2 c, а в его поле как-то движутся точечные пробные заряды со скоростью ~c, так? Или не так? Как именно движутся пробные заряды, где и по каким направлениям?

sithif в сообщении #439093 писал(а):

Но вернемся к проблеме, как Вы относитесь к утверждению, что поля в задаче зависят от s,t как z=s-ct. Мне это не очевидно, как то хочется доказать.

Это можно доказать на основе преобразования симметрии, сохраняющего такое z. С привлечением теоремы о существовании и единственности решения.

[sithif]

Цитата:

В вычислениях у вас полная ерунда получилась. Поле в виде дельта-функции - не бывает такого. И отсутствие зависимости от нелепо.

В вычислениях все правильно. Поле в виде дельта функции тоже верно. Попробуйте закон Гаусса, получите такой же результат (ускорения нет).
Задача в цилиндрических координатах, там нет х принципиально.

Цитата:

Случай надо отбросить из зеркальной симметрии (для электрического поля) в плоскости, содержащей ось.

нет

Цитата:

Сгусток заряженных частиц в форме кольца, поперечно ориентированного, у вас движется со скоростью 0,2 c, а в его поле как-то движутся точечные пробные заряды со скоростью ~c, так?

да

Цитата:

Как именно движутся пробные заряды, где и по каким направлениям?

см. рисунок. Движутся они так, что продольная скорость много больше поперечной. Могут двигаться как на встречу кольцу так и догонять его.