Найти площадь фигуры c помощью двойных интегралов

[Kobe]

Найти площадь фигуры, ограниченной данными линиями (с помощью двойного интеграла):

{y=\sqrt{24-x^2}, 2\sqrt{3}y=x^2, x=0, x\geqslant0}

Я нашел точки пересечения полуокружности и параболы:
\sqrt{24-x^2}=\frac{x^2}{2\sqrt{3}}
24-x^2=\frac{x^4}{12}
x^2=t
t^2+12t^2-288=0
x=\sqrt{12}

Вот график:

Получаем интеграл S=\int dx\int dy с вот такими пределами

S=\int_0^{\sqrt{12}}}dx\int_{\frac{x^2}{2\sqrt{3}}}^{\sqrt{24-x^2}}dy

Вопрос: Правильно ли выбраны пределы интегрирования?
Я не могу решить этот интеграл у меня получается ответ с минусом, помогите пожалуйста.

[gris]

Пределы правильно. Получается положительное число. Вы там арксинус не пропустили при интегрировании? Ну и чисто формально написали бы двойной интеграл:
$S=\iint\limits_D\,dxdy=...$

[Kobe]

У меня в этом интеграле, где арксинус, получается так 6arcsin(sqrt(2))+12arcsin(2*sqrt(2)) как это вообще возможно?
Пожалуйста, распишите мне этот второй интеграл или скажите ответ полученный

[gris]

Не может такого быть. У Вас нижний предел 0, при подстановке первообразная обращается в 0 и остаётся только верхний предел. Корень из 2 вообще никак не может появиться.
Может быть Вы проделали лишнюю работу?

$$S=\int_0\limits^{\sqrt{12}}}dx\int\limits_{\frac{x^2}{2\sqrt{3}}}^{\sqrt{24-x^2}}dy=\int_0\limits^{\sqrt{12}}}{\sqrt{24-x^2}-{\frac{x^2}{2\sqrt{3}}}\,dx=...$$

Не так, разве? Потом из корня получается икс умножиенный на корень плюс арксинус. Да ещё вычитается икс в кубе. Надо только коэффициенты правильно посчитать. Второго арксинуса так-таки нет.

[Kobe]

У меня получился ответ: 2+3пи

[Kobe]

gris это правильный ответ? Скажите, пожалуйста, мне завтра сдавать уже.

[gris]

Вот это я Вам не смогу точно подсказать. Алгоритм действий правильный, а вот точно посчитать все коэффициенты это дело трудное. Я всегда ошибаюсь. Но пи должно появиться из арксинуса, и некое число без пи тоже из корня и степени. Вообще можно оценить правильность ответа с помощью численного интнгрирования, это вовсе не так сложно. У меня сейчас под рукой нет эксели, а то посчитать интеграл пять минут по обычным прямоугольникам. Можно и где-то в инете отыскать интегрирование, но я сам не пользуюсь.

[Kobe]

Ладно, надеюсь правильно, скоро узнаем :) спасибо Вам большое за помощь