Дифференциальное уравнение

[caesarus]

Помогите решить такое:
$\tg(x)*y'' - y' + \frac{1}{\sin(x)} = 0 $ нач. условие $y(\frac{\pi}{2}) = 0$ ;$y'(\frac{\pi}{2})= 0 $

ну или дайте пару подсказок.

[ИСН]

линейное неоднородное первого порядка.
метод вариации посто....

[ewert]

(Оффтоп)

ИСН в сообщении #437952 писал(а):

линейное неоднородное первого порядка.
метод вариации посто....

Вас же просили пару, а не полторы

Подсказываю. Можно начать с избавления от безграмотности записи путём умножения всего на котангенс. Потом -- понизить порядок, приняв производную за новую функцию.

[caesarus]

получится так?
$y'' - y'*\ctg(x) + \frac{\cos(x)}{\sin^2(x)}=0$
$y'' = z' ; y' = z$
$z' - z*\ctg(x) = - \frac{\cos(x)}{\sin^2(x)}$
$y= y(-) + y(*)$
$y(-): z' - z*\ctg(x) = 0$
$\frac{dz}{dx} = z*ctg(x)$
$\int\frac{dz}{z} = \int\ctg(x) dx$
$ln|z| = ln|\sin(x)| + C$
$z = \sin(x) + C$
$y' = \sin(x) + C$
а потом еще частное решение?

[ewert]

caesarus в сообщении #437963 писал(а):

а потом еще частное решение?

А потом ещё, но сперва наведите порядок в константах -- этот переход неверен:

caesarus в сообщении #437963 писал(а):

$ln|z| = ln|\sin(x)| + C$
$z = \sin(x) + C$

[caesarus]

то есть будет $z = C*\sin(x)$

[ИСН]

вот-вот. теперь общее решение в студию.

[caesarus]

$y' = \sin(x)*C_1$
$\frac{dy}{dx} = \sin(x)*C_1$
$\int dy = \frac{1}{C_1}* \int \frac{dx}{\sin(x)}$
$y = \frac{ln|\tg(\frac{x}{2})| + C_2}{C_1}$

так должно получится?

[Tlalok]

А как это вы синус в знаменатель опустили?

[caesarus]

ох, пасиб за замечание, лоханулся))

-- Сб апр 23, 2011 23:03:55 --

$y' = \sin(x)*C_1$
$\frac{dy}{dx} = \sin(x)*C_1$
$\int dy = C_1* \int \sin(x)$
$y = -\cos(x) * C_1 + C_2$

хорошо, какие дальше действия? если можно по-подробней.

-- Сб апр 23, 2011 23:04:02 --

$y' = \sin(x)*C_1$
$\frac{dy}{dx} = \sin(x)*C_1$
$\int dy = C_1* \int \sin(x)$
$y = -\cos(x) * C_1 + C_2$

хорошо, какие дальше действия? если можно по-подробней.

[Kitozavr]

Найдите производную от решения и используя начальные условия определите неизвестные константы.

[caesarus]

получается $C_1 = C_2 = 0$?

-- Пн апр 25, 2011 10:02:54 --

и что после этого дальше делать?

[ИСН]

подставить решение в диффур. Подходит? Нет? Почему?
Я там в начале намекал на метод вариации произвольной постоянной; чувствую, что напрасно...

[Dan B-Yallay]

Цитата:

$$z' - z*\ctg(x) = - \frac{\cos(x)}{\sin^2(x)}$$

Интегрирующий множитель не пойдет?

[caesarus]

ИСН
скажите диффур это диф. уравнение? если да, то в какое именно?
и еще я у преподавателя спросил, сказали, что метод вариации здесь не пройдет. Как тогда решать?