Вопрос по статье о финслеровых углах

[STilda]

Ну так то да но странно. Возьмем в псевдоэвклидовой плоскости точку $P(1,2)$. Положим вторая координата времениподобная. Будем искать точку на времениподобной оси $A(0,t)$ с екстремальным расстоянием до точки $P$. $r=\sqrt{1-(2-t)^2}$.Теперь когда $t$ меняется получаем то действительное то мнимое значение для $r$. И необычно слышать что "максимум есть а минимума нет" по отношению к такой функции $r$.
Появляется надуманное требование что рассматирвается только действительное $r$. Как его можно наглядно обосновать?

[Kallikanzarid]

STilda
Если вы рассматриваете псевдоевклидову плоскость, то откуда у вас там комплексные числа?

[Time]

STilda в сообщении #437749 писал(а):

Будем искать точку на времениподобной оси $A(0,t)$ с екстремальным расстоянием

Вообще-то такая задача решается практически аналогично тому, как она решается на евклидовой плоскости. Опустите из из точки (1,2) "перпендикуляр" (в псевдоевклидовом смысле ортогональности, естественно) на временнУю ось - вот Вам и экстремум (максимум) расстояния от точки до прямой.

STilda в сообщении #437749 писал(а):

Появляется надуманное требование что рассматирвается только действительное . Как его можно наглядно обосновать?

Очень просто: вещественным значениям интервалов (времениподобным) соответствуют мировые линии пробных тел со скоростями меньше скорости света. Скорости выше световых в современной физике считаются невозможными. Или Вы считаете это надуманным свойством?

-- Пт апр 22, 2011 23:07:56 --

Kallikanzarid в сообщении #437762 писал(а):

Если вы рассматриваете псевдоевклидову плоскость, то откуда у вас там комплексные числа?

Откройте Розенфельда "Многомерные пространства" раздел посвященный псевдоевклидовой плоскости и посмотрите какие значения на ней принимают углы для векторов из соседних квадрантов. Будете приятно удивлены.. Это, кстати, элементарные вещи.

[Kallikanzarid]

Time
Ну какие углы на псевдоевклидовых пространствах? :) Наверное да, можно ввести, но это пример фантастически бесполезной вещи. Это ваш фетиш? К тому же, речь шла о расстоянии.

[Time]

Kallikanzarid
Что, уже нашли книгу Розенфельда и посмотрели? Или примерно как с нашей статьей: "Не читал, но мнение свое выскажу"?
Особенно позабавила запись Розенфельда в фантазеры и в любители бесполезных вещей. Совсем не возражаю оказаться заодно в подобной компании..
Расстояния (интервалы) на псевдоевклидовой плоскости бывают вещественными и чисто мнимыми. Последние - частный случай комплексных чисел. Кроме того углы на псевдоевклидовой плоскости, в одной из интерпретаций это длины (интервалы) дуг на единичной сфере (гиперболе).
Это тоже элементарные вещи, какими бы бесполезными вы их не считали.

[Kallikanzarid]

Time в сообщении #437252 писал(а):

Я не возражаю против возможности определить конформную группу без явного определения понятия угла. Я возражал против неизвестно откуда взявшегося утверждения, что такая группа будет бесконечнопараметрической.

А я такого и не утверждал, я не вижу смысла изощряться лишь чтобы придумать большую группу и нахлобучить на нее ярлык "конформная".

Time в сообщении #437252 писал(а):

Если не согласны с этим утверждением - попробуйте обосновать, что мы "не исследуем финслеровы геометрии, на необычном подходе".

Обычно исследуют (общие) финслеровы многообразия. Вы исследуете два аффинных финслеровых многообразия, да еще и со структурой алгебры. У вас не только метод, но и предмет имеют мало общего с финслеровой геометрией.

-- Сб апр 23, 2011 02:32:05 --

Time в сообщении #437871 писал(а):

Особенно позабавила запись Розенфельда в фантазеры и в любители бесполезных вещей.

Розенфельда я никуда не записывал, я назвал идею ввести понятие угла в псевдоевклидовы пространства бесполезной. Если вы не согласны, приведите пример задачи, которую можно естественно описать с помощью таких углов, но сложно - непосредственно с помощью евклидовой метрики.

-- Сб апр 23, 2011 02:36:47 --

Time в сообщении #437871 писал(а):

Расстояния (интервалы) на псевдоевклидовой плоскости бывают вещественными и чисто мнимыми.

Вообще да, тут вы правы :) А как вы ищете их минимум/максимум тогда, кстати?

[Time]

Kallikanzarid в сообщении #437872 писал(а):

я не вижу смысла изощряться лишь чтобы придумать большую группу и нахлобучить на нее ярлык "конформная".

Ну, после вашего утверждения, что не видите смысла в угле на псевдоевклидовой плоскости - не стОит удивляться, что вы не видите смысла, ни во введении угла в более сложных пространствах являющихся многомерными расширениями плоскости двойной переменной, ни в исследовании их конформных групп, оказывающихся бесконечнопараметрическими.
Можно вас попросить ответить на один важный вопрос: "Бесконечнопараметрическую конформную группу псевдоевклидовой плоскости вы также считаете "бессмысленным изощрением", или для нее делаете исключение из всех пространств $H_n$"? Особенно ответ интересен в контексте предыдущего заявления о бессмысленности углов на псевдоевклидовой плоскости..

Kallikanzarid в сообщении #437872 писал(а):

но исследуют (общие) финслеровы многообразия. Вы исследуете два аффинных финслеровых многообразия, да еще и со структурой алгебры. У вас не только метод, но и предмет имеют мало общего с финслеровой геометрией.

Вы будете еще раз приятно удивлены, узнав, что линейные финслеровы многообразия (аффинными обычно называют линейные пространства без метрической функции, а финслеровы таковыми не являются) исследуются много чаще, чем вам кажется. К таковым, в частности, относятся евклидовы и псевдоевклидовы пространтсва, которым посвящены тысячи работ. Да и со структурой алгебры линейных финслеровых пространств изучено не мало. Среди них связанные с алгебрами действительных, комплексных и двойных чисел. А так же с кватернионами, антикватернионами (см. того же Розенфельда), бикватернионами, бикомплексными числами и т.д. и т.п. На счет "мало общего с финслеровой геометрией" - примите во внимания, что СО ВСЕМИ перечисленными алгебрами связаны именно линейные финслеровы пространства, как с квадратичной метрической функцией, так и нет. Можете также глянуть статью специалиста по финслеровой геометрии, чьему авторству принадлежит заметка о финслеровой геометрии не где ни будь, а в математической энциклопедии:
http://dic.academic.ru/dic.nsf/enc_math ... 0%92%D0%90
Среди западных финслеристов (тех самых, кого вы считаете занимающимися "правильной" геометрией) этот специалист котируется не менее, чем цитировавшийся вами Черн. Надеюсь, хотя бы чуть далее введения (до стр. 47) его работы вы прочитаете, прежде чем станете комментировать:
http://hypercomplex.xpsweb.com/articles ... /01-05.pdf
Особое внимание предлагаю обратить на размышления о перспективах развития финслеровой геометрии бок о бок с развитием понятия Числа (естественно, в гиперкомплексном его понимании). Ну, и на подчеркивание важности понятия угла для финслеровых геометрий, так же не помешает остановиться отдельно.

Kallikanzarid в сообщении #437872 писал(а):

Розенфельда я никуда не записывал

Выше вы назвали углы на псевдоевклидовой плоскости "фантастически бесполезной вещью". Фантастика и фантазия - практически одно и то же. А уж с добавкой "бесполезной вещи" точно выходит, что заниматься подобным мог лишь законченный фантазер.

Kallikanzarid в сообщении #437872 писал(а):

я назвал идею ввести понятие угла в псевдоевклидовы пространства бесполезной. Если вы не согласны, приведите пример задачи, которую можно естественно описать с помощью таких углов, но сложно - непосредственно с помощью евклидовой метрики.

Элементарно. Задача о релятивистском сложении скоростей в двумерном пространстве-времени. Через псевдоевклидовы углы и знание, что гиперболический тангенс от них связан с относительной скоростью, такая задача решается в полпинка. Как вы ее решите при помощи евклидовой метрики без псевдоевклидовой я не очень представляю. Продемонстрируйте, пожалуйста..

Kallikanzarid в сообщении #437872 писал(а):

Вообще да, тут вы правы :) А как вы ищете их минимум/максимум тогда, кстати?

По раздельности, согласно принципу: "мухи отдельно, котлеты отдельно"..

P.S. Предлагаю завязать с подколками, обвинениями в незнании элементарных вещей, многозначительными улыбками, подмигиваниями и пр. Если вы откажетесь от этого сомнительного способа ведения дискуссии, в свою очередь, готов также перестать действовать аналогично.

[Kallikanzarid]

Time в сообщении #437883 писал(а):

Ну, после вашего утверждения, что не видите смысла в угле на псевдоевклидовой плоскости - не стОит удивляться, что вы не видите смысла, ни во введении угла в более сложных пространствах являющихся многомерными расширениями плоскости двойной переменной, ни в исследовании их конформных групп, оказывающихся бесконечнопараметрическими.

Действительно :)

Time в сообщении #437883 писал(а):

Можно вас попросить ответить на один важный вопрос: "Бесконечнопараметрическую конформную группу псевдоевклидовой плоскости вы также считаете "бессмысленным изощрением", или для нее делаете исключение из всех пространств $H_n$"? Особенно ответ интересен в контексте предыдущего заявления о бессмысленности углов на псевдоевклидовой плоскости..

Так получилась, что она там бесконечномерная, это интересное свойство двумерного (псевдо)-евклидового пространства. Точно также теорема Лиувилля открывает интересное свойство n-мерных (псевдо)-евклидовых пространств. Вы единственный, кто делает из этого трагедию.

Time в сообщении #437883 писал(а):

Вы будете еще раз приятно удивлены, узнав, что линейные финслеровы многообразия (аффинными обычно называют линейные пространства без метрической функции, а финслеровы таковыми не являются)

Аффинным пространством называется гладкое n-мерное многообразие с заданным на нем регулярным действием группы $\mathbb{R}^n$ параллельными переносами (что задает плоскую связность без кручения). Любое такое многообразие со связностью изоморфно $\mathbb{R}^n$, об аффинных пространтсвах говорят обычно, когда хотят подчеркнуть, что не рассматривают $\mathbb{R}^n$ структуру векторного пространства.

Time в сообщении #437883 писал(а):

К таковым, в частности, относятся евклидовы и псевдоевклидовы пространтсва, которым посвящены тысячи работ. Да и со структурой алгебры линейных финслеровых пространств изучено не мало. Среди них связанные с алгебрами действительных, комплексных и двойных чисел. А так же с кватернионами, антикватернионами (см. того же Розенфельда), бикватернионами, бикомплексными числами и т.д. и т.п. На счет "мало общего с финслеровой геометрией" - примите во внимания, что СО ВСЕМИ перечисленными алгебрами связаны именно линейные финслеровы пространства, как с квадратичной метрической функцией, так и нет.

Не юлите, вы же прекрасно понимаете, о чем я говорю

Time в сообщении #437883 писал(а):

Особое внимание предлагаю обратить на размышления о перспективах развития финслеровой геометрии бок о бок с развитием понятия Числа (естественно, в гиперкомплексном его понимании).

Конечно, куда программе Лэнглэндса до вашего гения

Time в сообщении #437883 писал(а):

Выше вы назвали углы на псевдоевклидовой плоскости "фантастически бесполезной вещью". Фантастика и фантазия - практически одно и то же. А уж с добавкой "бесполезной вещи" точно выходит, что заниматься подобным мог лишь законченный фантазер.

Не приписывайте мне свои выводы, ок?

Time в сообщении #437883 писал(а):

Элементарно. Задача о релятивистском сложении скоростей в двумерном пространстве-времени.

Первый раз слышу, что это за задача такая и где там вы нашли углы?

Time в сообщении #437883 писал(а):

По раздельности, согласно принципу: "мухи отдельно, котлеты отдельно"

Это математический принцип? Не поясните его формализацию?

Time в сообщении #437883 писал(а):

P.S. Предлагаю завязать с подколками, обвинениями в незнании элементарных вещей, многозначительными улыбками, подмигиваниями и пр. Если вы откажетесь от этого сомнительного способа ведения дискуссии, в свою очередь, готов также перестать действовать аналогично.

Что поделать, если вы не знаете основ основ дифференциальной геометрии, и даже не считаете это важным упущением для человека, пытающегося заниматься дифференциальной геометрией? :)

[STilda]

Kallikanzarid в сообщении #437915 писал(а):

Что поделать, если вы не знаете основ основ дифференциальной геометрии, и даже не считаете это важным упущением для человека, пытающегося заниматься дифференциальной геометрией? :)

Какое отношение это имеет к "Вопрос по статье о финслеровых углах"?

Может уже хватит захламлять темы личными перепалками? Может пора уже научится говорить по теме? Кому эти фразы интересны? Мне - нет. Думаю никому кто хочет изучить финслеровы углы это не нужно. Почему за такое не банят? Емае, 20 страниц текста из них 1 по теме остальное - мерянье пиписками. Интелегенция...

-- Сб апр 23, 2011 11:56:36 --

Может пора уважать время и свое и чужих людей?

[Kallikanzarid]

Это неплохое развлечение ;) А дифференциальная геометрия вам нужнее, чем "финслеровы" углы, хотя бы потому, что финслерова геометрия формулируется как дополнительная структура на гладком многообразии.

[Time]

Kallikanzarid в сообщении #437915 писал(а):

Time в сообщении #437883 писал(а):
P.S. Предлагаю завязать с подколками, обвинениями в незнании элементарных вещей, многозначительными улыбками, подмигиваниями и пр. Если вы откажетесь от этого сомнительного способа ведения дискуссии, в свою очередь, готов также перестать действовать аналогично.

Что поделать, если вы не знаете основ основ дифференциальной геометрии, и даже не считаете это важным упущением для человека, пытающегося заниматься дифференциальной геометрией? :)

Ну что ж, ваш выбор понятен. Информирую о своем - игнорировать в связи с безграмотностью и невменяемостью собеседника.

[Kallikanzarid]

Time в сообщении #437950 писал(а):

Ну что ж, ваш выбор понятен. Информирую о своем - игнорировать в связи с безграмотностью и невменяемостью собеседника.

Для человека, считающего дифференциал ускоспециальной темой, вы слишком сильно меня патронизируете ;)

[В.О.]

Time в сообщении #437643 писал(а):

Это не моя, а Ваша минимальная длина. В какой метрике Вы ее определили? В римановой?
А если не в римановой, а как и положено в финслеровой, индуцированной метрикой на поверхности индикатрисы, то минимум (если не выходить за рамки вещественных значений) будет связан именно с ломаными, каждый кусок которых состоит из изотропных (нулевой длины) кривых. Любые неизотропные кривые, соединяющие те же точки и имеющие вещественные значения длин, будут иметь величину бОльшую, чем ноль и среди них всех выделяется одна кривая, длина которой в соответствующей финслеровой метрике максимальна.

Длина определяется в финслеровой метрике из статьи.
$\rho(A,B) = length$ по формуле (22)
Хорошо, нулевое расстояние между точками это минимум. Максимальное финслерово расстояние это максимум. Итого два экстремума. Но при решении уравнения Эйлера в статье Вы нашли только один экстремум. Где второй?

Максимум длинн кривых, соединяющих две точки (если расстояние действительно и неотрицательно) равен бесконечности. В евклидовом пространстве это очевидно. При движении от точки к точке можно бесконечно наматывать спираль ( почти одинаковые круги ) вокруг точки, так, чтобы длина кривой стала сколь угодно большой. В финслеровом пространстве практически то же самое, только немного аккуратней. Пусть между точками есть кривая ненулевой длины. Тогда чуть - чуть отступаем от концов и слегка варьируем кривую. Проходим расстояние туда и обратно. Получаем почти удвоенное раастояние. И так любое число раз. Максимум равен бесконечности.

[В.О.]

Kallikanzarid в сообщении #437559 писал(а):

удовлетворите мое любопытство - какие объекты там рассматриваются?

Все элементарно. Проще Вам самому посмотреть. На стр. 43 - 44 определены алгебраические операции и то, что называют нормой.

[Kallikanzarid]

В.О. в сообщении #437977 писал(а):

Все элементарно. Проще Вам самому посмотреть. На стр. 43 - 44 определены алгебраические операции и то, что называют нормой.

А 42 страницы перед этим читать нужно? %)