Непрерывна ли функция?

[SpBTimes]

Необходимо исследовать функцию на непрерывность:
$I(a) = \int_{\frac{-\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos(\frac{a}{x})}{x^{\frac{4}{3}}}dx$

На множестве $(0, 2)$

Понятно, что при $a > t > 0$ выполняются условия известной теоремы и $I(a)$ непрерывна. Но как доказать, что и приближая $a$ к нулю всё будет хорошо, или же наоборот - плохо?
$I(0) \rightarrow \infty$. Может быть попробовать доказать, что при $a> 0$ значение интеграла будет константой, которая меньше $\infty$?
Или есть какой-то ещё способ?

[gris]

Получается, что для любого $a\in (0;2)$ будет даже интервал существовать, на котором функция непрерывна. Может быть вопрос о равномерной непрерывности?

[SpBTimes]

Нет, вопрос именно о непрерывности функции I(a).
Как при приближению к нулю исследовать можно?

[gris]

Например, $y=1/x$ непрерывна на интервале $(0;2)$.
Функция непрерывна на интервале, если она непрерывна в каждой точке интервала.
Если, конечно, Вы правы насчёт Вашего утверждения и там нет никаких сюрпризов внутри.

[SpBTimes]

Нет, это понятно. Но это же интеграл, зависящий от параметра.
Есть теорема, говорящая что если подынтегральная функция непрерывна + интеграл сходится равномерно, то $I(a)$ непрерывна.
При $a > t > 0$ это доказывается (Дирихле). Вопрос в том, непрерывна ли вблизи нуля. Там Дирихле не применить.

[gris]

Ну вот с функцией $y=1/x$ Вы согласны, что она непрерывна на $(0;2)$?
Хотя она разрывна в нуле и при приближении к нему устремляется в бесконечность. Но в любой точке из интервала $(0;2)$ она непрерывна. Так как для любого $x>0$ существует окрестность, в которой функция определена и её двусторонний предел равен значению функции в этой точке. Поэтому она непрерывна в любой точке интервала, то есть на интервале.
Другое дело, что она не будет равномерно непрерывной на этом интервале. Именно из-за стремления в бесконечность при приближении икс к нулю.
Не то же ли самое и с Вашей функцией?

Подождите-ка, а Вы какой ноль имеете в виду? Ноль $a$ или ноль икса?
Разве подынтегральная функция будет непрерывна на интервале интегрирования?

[SpBTimes]

Да, я конечно согласен про $\frac{1}{x}$ и про отсутствие равномерной непрерывности.
Однако про свою я это утверждать не могу. Поэтому здесь и задал вопрос. Впрочем, если у вас есть идеи доказательства, то буду рад услышать

[ewert]

$\int\limits_{2/\pi}^{+\infty}\dfrac{\cos(at)}{t^{2/3}}\,dt=a^{-1/3}\int\limits_{2a/\pi}^{+\infty}\dfrac{\cos y}{y^{2/3}}\,dy$. Т.е. всё зависит от того, чему равен (сходящийся) интеграл $\int\limits_0^{+\infty}\dfrac{\cos y}{y^{2/3}}\,dy$. Если нулю, то предел исходного интеграла при $a\to0$ конечен; если не нулю, то -- бесконечен. А он нулю не равен: с ходу не скажу, как его считать (он считается), но он сводится к аналогичному интегралу с синусом, который уж точно положителен.

[SpBTimes]

ewert
Да. К такому я пришёл. И правильно ли понимаю, что если бы предел был равен нулю, то функция бы была разрывна, иначе непрерывна? (Так как на промежутке больше какого-то конкретного $a_{0}$ всё вполне себе непрерывно)

[SpBTimes]

Посчитать не пробовал, но доказал, что больше положительной константы.

[ewert]

Насчёт положительности не понял, но что не ноль -- то просто. Интеграл по всей оси (вещественной, но в комплексной плоскости) $\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\dfrac{e^{iz}}{z^{\alpha}}\,dz$ при $\alpha\in(0;1)$ равен нулю (по лемме Жордана), и в то же время распадается в комплексную комбинацию двух интегралов по положительной полуоси -- с синусом в числителе (и с той же степенью в знаменателе) и с косинусом. И не важно, с какими конкретно коэффициентами; важно лишь, что они явно ненулевые. Т.е. интеграл с косинусом пропорционален интегралу с синусом. Но последний ( в отличие от первого) положителен очевидно.

[RIP]

(Оффтоп)

Положительность тоже просто, так как выпуклость:

$$\int_0^{2\pi}f(x)\cos x\,\mathrm dx=\int_0^{\pi/2}\bigl(f(x)-f(\pi-x)-f(\pi+x)+f(2\pi-x)\bigr)\cos x\,\mathrm dx.$$

Если $f$ выпукла (вниз), то функция в скобках неотрицательна. (Ну, или по частям свести к синусу.)