предел

[Capella]

Ну что-ж, попробую и я вам задачку подбросить... Просьба только не судить очень строго, если она покажется скорее стандартной, а не олимпиадной

Найдите предел:

$$ \lim\limits_{x\to +\infty} \int\limits_{\mathbb{R}} \frac {t^2} {1 + t^2} e^{-\left(x-t\right)^2} dt$$

[Юстас]

Добавим и отнимем в числителе дроби единицу. Тогда первый интеграл - стандартный гауссовский равен $\sqrt{\pi}$, а второй вида $ \lim\limits_{x\to +\infty} \int\limits_{\mathbb{R}} \frac {1} {1 + t^2} e^{-\left(x-t\right)^2} dt$ стремится к нулю, как свёртка двух интегрируемых функций.

[Capella]

Я конечно понимала, что до этого раздела всё-таки не дотягивает.. Но чтобы ТАК быстро - ответ, разумеется, верный

Добавлено спустя 17 минут 18 секунд:

Хочу выложить здесь ещё тогда и свой путь решения. Делаю сл подстановку:

$$ s = -t + x$$

Теперь по теореме Лёбега о майоризированой сходимости могу поменять предел с интегралом. Рассматриваю две функции (первая будет функция из-под интеграла после подстановки):

$$ f_x(s) = \frac {(x-s)^2} {1 + (x-s)^2} e^{-s^2} $$

$$ g (s) = e^{-s^2}$$

Далее привожу к неравенству:

$$\Rightarrow f_x(s) \leqslant g(s)\phantom{0} \forall x \in \mathbb{R}\phantom{0} \forall s \in \mathbb{R}$$

Ну и далее уже привожу к известному интегралу....

$$ \lim\limits_{x\to+\infty}\int\limits_{\mathbb{R}} \frac {(x-s)^2} {1 + (x-s)^2} e^{-s^2} ds = \int\limits_{\mathbb{R}} \lim\limits_{x\to+\infty} \frac {(x-s)^2} {1 + (x-s)^2} e^{-s^2} ds = \int\limits_\mathbb{R} e^{-s^2} ds = \sqrt \pi$$

Вот такии пироги