3 задачки! Помогите решить.

[Antonina]

1.Хрюша расставил своих 2006 друзей на дороге длиной 1 км. Есть ли точка на этой дороге, такая что сумма расстояний от нее до друзей Хрюши не меньше 1003 км?

2.С какого номера n члены последовательности:
a[1] = 1,
a[n+1] = 2*(a[n]+1/a²[n])/3
будут отличаться от кубического корня из 2 на величину не больше чем 10 в степени -16?

3.Найти x, y, z, такие что
x + y + z = 1,
x³ + y³ + z³ = 1,
xy + yz + xz = -4.

[Lion]

В задаче №3 найдите величину $xyz$ и с помощью теоремы Виета сведите задачу к кубическому уравнению.

В задаче №2 описан метод Ньютона нахождения корней уравнения $f(x)=0$, о котором можно прочитать, например, в книге Гордина "Как это посчитать?". Там же доказывается следующая формула: если $q_n$ --- погрешность на n-ом шаге, то верна следующая оценка: $q_n\leq (q_0)^{2^n}$. Поскольку в нашем слечае $f(x)=x^3-2$ и $|q_0|<1$, то сходимость будет очень быстрой. Нужное n посчитайте сами.

В задаче №1 рассмотрите двух соседних друзей Хрюши, стоящих на максимальном расстоянии друг от друга, и воспользуйтесь принципом Дирихле.

[RIP]

1) Докажите, что один из концов дороги удовлетворяет условию.

Добавлено спустя 14 минут 21 секунду:

3) Используйте тождество

$$(x+y+z)^3-x^3-y^3-z^3=3(x+y)(x+z)(y+z)$$

Добавлено спустя 54 минуты 20 секунд:

2) Элементарное (школьное) решение может быть таким.
Во-первых,
$a_{n+1}=\frac23(\frac{a_n}2+\frac{a_n}2+\frac1{a_n^2})\geqslant\frac23\cdot3\sqrt[3]{\frac{a_n}2\cdot\frac{a_n}2\cdot\frac1{a_n^2}}=\sqrt[3]2$
Во-вторых, при $n\geqslant2$
$a_{n+1}=\frac23(a_n+\frac1{a_n^2})\leqslant a_n$
Далее,
$\frac{a_{n+1}-\sqrt[3]2}{(a_{n+1}-\sqrt[3]2)^2}=\frac23(\frac1{a_n}+\frac{\sqrt[3]2}{2a_n^2})$
При $n\geqslant2$ $\sqrt[3]2\leqslant a_n\leqslant a_2=\frac43$, поэтому
$\frac{a_{n+1}-\sqrt[3]2}{(a_{n+1}-\sqrt[3]2)^2}\in[\frac12+\frac{3\sqrt[3]2}{16};\frac1{\sqrt[3]2}]$
Отсюда легко получить ответ $n=6$ (вроде).