Торы как прямые произведения

[Munin]

bruno1 в сообщении #437118 писал(а):

Это намного менее птичий язык

Интересно, чем для вас одно факторпространство менее птичье чем другое :-)

[bruno1]

Munin в сообщении #437154 писал(а):

чем для вас одно факторпространство

Во втором случае подразумевается разбиение на классы элементов эквивалентных с точки зрения действия группы, а в первом не знаю чего подразумевается. Наверно я зря факторизацию представляю как нечто обратное к прямому произведению. Впрочем это по факторизации бутылки Клейна видно, т.е. факторизовали то, чего в виде произведения не представляли. Наверно там еще какой-то смысл есть и факторизацию нужно более общо понимать.
Не тополог, каюсь :)

[Munin]

bruno1 в сообщении #437196 писал(а):

Во втором случае подразумевается разбиение на классы элементов эквивалентных с точки зрения действия группы, а в первом не знаю чего подразумевается.

И там и там не с точки зрения действия группы. Речь о топологии, и о точках, эквивалентных с точки зрения топологии (надеюсь, что такое топология, заданная на множестве, вы знаете). Образно говоря, классы эквивалентности - это классы "склеенных" точек, таких, что в каждом классе они неразличимы геометрически. Это как вы ставите точку на бумаге, и говорите "точка A", а потом ставите перо в ту же точку, и говорите "точка B". Два объекта, элемента множеств, разные, но на бумаге они в одном месте, и вместе, как склеенные, будут включаться в любое геометрическое множество, или исключаться из него. Различить их можно только негеометрически, например, если мы говорим, что один элемент соответствует "углу 0", а другой - "углу $2\pi$".

[bruno1]

Munin в сообщении #437208 писал(а):

И там и там не с точки зрения действия группы.

Ок, как я себе представляю факторизацию по группе. Берем прямую$R$, берем точку $x_0$ действуем на неё группой $Z$ получаем орбиту этого элемента $O(x_0)$, берем $x_1$ получаем $O(x_1)$ и т.д. Прямая разбивается на классы эквивалентных с точки действия группы элементов. Отождествляем их, получаем факторпространство $T^1=R/Z$. Что не так?

[Kallikanzarid]

$(A \times B) / B \cong A$, но из $X/Y \cong Z$ не следует, что $X \cong Y \times Z$. Посмотрите сначала это в категории групп: http://www.math.uconn.edu/~kconrad/blur ... tinggp.pdf Потом и в категории топологических пространств будет понятней :) Хороший пример - накрытие и расслоение, в случае касательных расслоений гладких многообразий вопрос, является или не является оно прямым произведением многообразия на слой, очень важен, т.к. многое нам говорит о свойствах этого многообразия.

Насчет вложений:
1) Элементарный пример не гомотопно эквивалентных вложений: возьмите две полоски бумаги. Одну склейте в обычное кольцо, а другую - сначала повернув один край на $2 \pi$. И там, и там получится топологическое кольцо (одно исходное пространство, один и тот же фактор), но эти два вложения вы не сможете превести друг в друга непрерывным движением. Таким образом можно построить бесконечную последовательность не гомотопно эквивалентных вложений кольца. Аналогично - с полоской Мёбиуса.
2) Строго говоря, неправильно говорить о вложении $T^3$ в $\mathbb{R}^3$, т.к. вложение по определению должно быть гомеоморфизмом на свой образ, а тут вы не сможете вложить тор без самопересечений (нарушается инъективность).

Насчет бутылки Кляйна, ИМХО окружность получится, но я формально не проверял :)

UPD: кстати, рассмотрите иррациональную обмотку тора, это интересная вещь. Делается так: берется $\mathbb{R}^2$, в ней проводится прямая $y = kx$, где $k$ - иррациональное число. Потом берется фактор по $\mathbb{Z}^2$, получается тор и на нем - иррациональная обмотка. Можно показать, что иррациональная обмотка:
1) незамкнута,
2) всюду плотна в $T^2$,
3) как подпространство тора - не гомеоморфна $\mathbb{R}$ со стандартной топологией.
Попробуйте доказать :)

@Munin: Все так, но определение тора через действие группы проще для больших размерностей ;)

[Munin]

bruno1
Я был неправ, да, "во втором случае" по группе. Без групповой операции это бессмысленные обозначения. Но я стремился рассказать смысл "первого случая", который вы воспринимаете как "птичий язык".

Kallikanzarid в сообщении #437244 писал(а):

Можно показать, что иррациональная обмотка:
3) как подпространство тора - не гомеоморфна $\mathbb{R}$ со стандартной топологией.

Что здесь значит "гомеоморфна"?

(Оффтопик для Kallikanzarid)

Чтобы написать обращение к конкретному пользователю, нажмите на имя пользователя в заголовке его сообщения. При этом в "Быстром ответе" появится имя этого пользователя, правильно оформленное, с переводом строки. Так принято обращаться на данном форуме, а ваш вариант с "@" - не столь удобен для чтения.

[Kallikanzarid]

Munin в сообщении #437364 писал(а):

Что здесь значит "гомеоморфна"?

Иррациональная обмотка - подмножество тора. Задаем на ней топологию подпространства, получаем топологическое пространство :)

[Munin]

Хм-м-м... Действительно, не гомеоморфна. А сразу не сообразил. Забавно.

[bruno1]

Kallikanzarid в сообщении #437244 писал(а):

осмотрите сначала это в категории групп:  http://www.math.uconn.edu/~kconrad/blur ... tinggp.pdf

Спасибо. Хорошая, годная ссылка. Давно хотел чего-нибудь про точные последовательности. А еще есть в том же духе и с доп. примерами? И что б последовательности подлинней.

Kallikanzarid в сообщении #437244 писал(а):

Строго говоря, неправильно говорить о вложении $T^3$ в $\mathbb{R}^3$

Мне тоже кажется, что это проекция или даже сечение. Как сказать лучше?
(Наверно все же $T^2$?)

Kallikanzarid в сообщении #437244 писал(а):

рассмотрите иррациональную обмотку тора, это интересная вещь

Да, забавная вещь. Слышал, но никогда не рассматривал :).
Причем сначала кажется, что случай $k>1$ более ручной, но потом, вспоминая, что абстрактный тор симметричен, становится ясно, что все одно. (Кстати. Похоже у бублика в $R^3$ и тора $T^2$ группы симметрий различны.)

Kallikanzarid в сообщении #437244 писал(а):

1) незамкнута,

Если она замкнута, то проходит через каждую точку хотя бы дважды. Если через каждую, то и через начало отсчёта. Следовательно для уравнения $0=kx \mod (1)$ при иррациональном $k$ должно существовать решение отличное от нуля, а это невозможно, так как тогда $k$ было бы представимо в виде рациональной дроби. Ну и до свиданья! = ЧТД. :)

Kallikanzarid в сообщении #437244 писал(а):

2) всюду плотна в

Тот же колинкор. Нужно доказать, что около решения ($x_1,y_1$) уравнения $y \mod (1)= kx \mod (1)$, в произвольно заданной малой окрестности существует решение ($x_2,y_2$), вообще говоря другое. Так...наверно уравнение лучше по другому записать
Пусть малая буква - дробная часть числа, а большая - целая. Тогда
$y+Y=k(x+X)=kx+kX$
Можно прям метрику рассматривать, но можно и заметить, что даже для одинаковых абсцисс существуют различные
ординаты удовлетворяющие уравнению. Так что убьем $x$, считая, что разные игрек заведомо сидят на разных уровнях обмотки для разных $X$. Тогда нужно для заданного $y_1$ найти $y_2$ в любой, сколь угодно малой окрестности. Но т.к.
$y_1-y_2=-(Y_1-Y_2)+k(X_1-X_2)=-\Delta Y+k \Delta X $,
то выбирая отношение дельт в виде подходящего приближения числа $k$ можно получить сколь угодно малую разность по игрек. Отсюда следует всюдуплотность. ЧТД.

-- Пт апр 22, 2011 03:17:35 --

Kallikanzarid в сообщении #437244 писал(а):

3) как подпространство тора - не гомеоморфна со стандартной топологией.

Наверно это следует из построений предыдущего пункта. Т.е. теперь близкими считаются точки далекие в обычной топологии Наверно вся система окрестностей переопределяется, ну и как следствие топология иная. Но меня смущает, что для какой-нибудь рациональной обмотки тора некоторые точки тоже становятся на торе ближе чем на прямой. Можно ли говорить об изменении топологии? Наверно нет, так как задаваясь все более малыми окрестностями мы близость соседних витков потеряем и вернемся к топологии прямой.

[Kallikanzarid]

bruno1 в сообщении #437592 писал(а):

Спасибо. Хорошая, годная ссылка. Давно хотел чего-нибудь про точные последовательности. А еще есть в том же духе и с доп. примерами? И что б последовательности подлинней.

Подлинней и с дополнительными примерами - это уже тянет на учебник по гомологической алгебре :) Для неабелевых групп, ЕМНИП, общую теорию точных последовательностей не развивают, зато короткие точные последовательности в теории групп вездесущи, например в учебнике Ленга глава про нормальные подгруппы (и все теоремы об изоморфизмах) рассматриваются с помощью них

bruno1 в сообщении #437592 писал(а):

Кстати. Похоже у бублика в $R^3$ и тора $T^2$ группы симметрий различны.

ИМХО, группы автогомеоморфизмов у них должны быть изоморфны, вы имеете ввиду какую-то конкретную дополнительную структуру?

-- Пт апр 22, 2011 07:35:17 --

bruno1 в сообщении #437592 писал(а):

Наверно это следует из построений предыдущего пункта. Т.е. теперь близкими считаются точки далекие в обычной топологии Наверно вся система окрестностей переопределяется, ну и как следствие топология иная. Но меня смущает, что для какой-нибудь рациональной обмотки тора некоторые точки тоже становятся на торе ближе чем на прямой. Можно ли говорить об изменении топологии? Наверно нет, так как задаваясь все более малыми окрестностями мы близость соседних витков потеряем и вернемся к топологии прямой.

Таки да :) База топологии тора порождена конечными шарами (точнее, их факторами по действию и т. д.), а каждый такой конечный шар будет в пересечении с обмоткой давать несколько интервалов на ней (бесконечное число, на самом деле). Поэтому между топологиями нельзя установить взаимно однозначное соответствие: один интервал будет открыт на прямой, но не будет открыт на иррациональной обмотке.

[bruno1]

Kallikanzarid в сообщении #437593 писал(а):

например в учебнике Ленга

Имеется в виду его "Алгебра"?

Kallikanzarid в сообщении #437593 писал(а):

вы имеете ввиду какую-то конкретную дополнительную структуру

Рассуждения таковы. Для тора в четырехмерном пространстве $T^2: s^2+t^2=1,x^2+y^2=1$ группа симметрий кроме каких-то очевидных вещей, типа $SO(2) X SO(2) $, содержит еще преобразования меняющие пары координат $(s,t)->(x,y)$. Т.е. окружности там совершенно равноправны. Для бублика, ИМХО, это должно соответствовать тому, что внутренность бублика становится дыркой и наоборот. Думаю такое отображение можно построить, но можно ли говорить, что с бубликом ничего не произошло и он остался тем же? Т.е. бублик если и переходит сам в себя, то ценой преобразования не только бублика, но и всего пространства. Как-то непривычно об этом думать как о преобразовании симметрии .

[Kallikanzarid]

bruno1 в сообщении #437895 писал(а):

Имеется в виду его "Алгебра"?

Дв :)

bruno1 в сообщении #437895 писал(а):

Рассуждения таковы. Для тора в четырехмерном пространстве $T^2: s^2+t^2=1,x^2+y^2=1$ группа симметрий кроме каких-то очевидных вещей, типа $SO(2) X SO(2) $, содержит еще преобразования меняющие пары координат $(s,t)->(x,y)$. Т.е. окружности там совершенно равноправны. Для бублика, ИМХО, это должно соответствовать тому, что внутренность бублика становится дыркой и наоборот. Думаю такое отображение можно построить, но можно ли говорить, что с бубликом ничего не произошло и он остался тем же? Т.е. бублик если и переходит сам в себя, то ценой преобразования не только бублика, но и всего пространства. Как-то непривычно об этом думать как о преобразовании симметрии .

Как я понимаю, под симметриями вы имеете ввиду изометрии. Тогда да, вы абсолютно правы. Более того, нормальные кривизны бублика в $\mathbb{R}^n$ отличны от нуля, это кривизны соответствующих окружностей, как и для любого тела вращения. Поэтому чтобы можно было изометрически отобразить одну на другую, эти окружности должны иметь одинаковый радиус но тогда бублик уже не будет вложением тора (нарушится инъективность). Кривизна же плоского тора в $\mathbb{R}^4$ равна нулю, да и окружности там имеют одинаковый радиус :)

Но тут мы рассмотрели на различных вложениях торов индуцированные гладкие структуры и метрики, важно понимать, что это уже другая ситуация, отличная от рассмотрения лишь их топологических свойств.

(Оффтоп)

используйте \times и \mathrm: $\mathrm{SO}(2) \times \mathrm{SO}(2)$

[Munin]

(Оффтоп)

А SO(2) всегда пишется вертикально? Мне казалось, я где-то встречал курсивом...

[Kallikanzarid]

(Оффтоп)

Я всегда встречал вертикально, м.б. кому-то было лень расставлять \mathrm? :)