Функциональный ряд: доказать отсутствие равномерной сходимос

[give_up]

Помогите разобраться с доказательством отсутствия равномерной сходимости функционального ряда $\[\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{1}{{\sqrt n }}} \sin \frac{x}{{n + {x^2}}}\]$ на промежутке $\[E = (1; + \infty )\]$.
Я попытался доказать это с помощью отрицания критерия Коши:
$\[\forall x \in E = (1; + \infty ) \to \left| {\sum\limits_{n = k + 1}^{2n} {{u_k}(} x)} \right| = \left| {\frac{1}{{\sqrt {n + 1} }} + \sin \frac{x}{{n + 1 + {x^2}}} + ... + \frac{1}{{\sqrt {2n} }} + \sin \frac{x}{{2n + {x^2}}}} \right| \ge \frac{n}{{\sqrt {2n} }}\sin {\left. {\frac{x}{{2n + {x^2}}}} \right|_{x = {x_n} = \sqrt n }} = \frac{{\sqrt n }}{{\sqrt 2 }}\sin \frac{1}{{3\sqrt n }}\]$

Обычно дальше у получившегося выражения находят при каком $n=n_0$ оно достигает минимума, но производная этого выражения не очень понятная, поэтому появилась такая идея:
Можно ли написать, что т.к. при достаточно больших $\[n \ge {n_0} \to + \infty :\,\,\frac{{\sqrt n }}{{\sqrt 2 }}\sin \frac{1}{{3\sqrt n }} \to \frac{1}{{3\sqrt 2 }} > 0\]$, то выполняется отрицание критерия Коши $\[\exists {\varepsilon _0} = \frac{1}{{3\sqrt 2 }} > 0:\forall n' \in N\,\exists n = \sup (n',{n_0});\exists p = n;\exists {x_n} = n \in E:\left| {\sum\limits_{n = k + 1}^{2n} {{u_k}(} {x_n})} \right| \ge {\varepsilon _0}\]$

Если же так делать нельзя, то обязательно ли находить производную и искать экстремумы, может есть другие способы?

[Хорхе]

Полный бардак в записях. К тому же, самое первое неравенство неправильно.

Возьмите для $x=\sqrt{n}$ кусок ряда от $n$ до $2n$ и попробуйте оценить снизу, только аккуратно.

[give_up]

Хорхе
Поторопился: последние две суммы должны быть вида $\[\sum\limits_{k = n + 1}^{2n} {...} \]$ в таком случае должны быть верны все неравенства. А как еще более удобно оценить снизу не представляю, подскажите

[Хорхе]

Ага, ну в таком случае все написано более-менее правильно (с точностью до замены $k$ на $n$, плюсиков на знаки умножения и троек на пятерки), хоть и весьма неаккуратно.

Чтобы оно совсем стало правильно, надо еще $\varepsilon_0$ уменьшить -- например, вдвое.

[give_up]

Хорошо, тогда получим
$\[\exists {\varepsilon _0} = \frac{1}{{6\sqrt 2 }} > 0:\forall n' \in N{\mkern 1mu} \exists n = \sup (n',{n_0});\exists p = n;\exists {x_n} = n \in E:\left| {\sum\limits_{k = n + 1}^{2n} {{u_k}(} {x_n})} \right| \ge {\varepsilon _0}\]$;
вроде верно, спасибо

[ewert]

Как-то всё очень тягостно. Если $x=\sqrt n$ и $k$ меняется от $n+1$ до $2n$, то $\sin\dfrac{x}{k+x^2}>\dfrac{x}{2k+2x^2}>\dfrac{\sqrt n}{4n+2n}=\dfrac{1}{6\sqrt n}$ и, значит,

$\sum\limits_{k=n+1}^{2n}\dfrac{1}{\sqrt k}\,\sin\dfrac{x}{n+x^2}>\dfrac{1}{6\sqrt n}\sum\limits_{k=n+1}^{2n}\dfrac{1}{\sqrt k}>\dfrac{1}{6\sqrt n}\int\limits_{n}^{2n}\dfrac{dk}{\sqrt k}=$

$=\dfrac{1}{3\sqrt n}(\sqrt{2n}-\sqrt n)=\dfrac{\sqrt2-1}{3}\not\to0.$

Чего ещё-то желать?...