Сходимость рядов

[give_up]

Есть несколько проблемных задач по теме сходимости рядов, помогите разобраться.
1)найти все значения $\alpha$ при которых сходится ряд $\[\sum\limits_{n = 1}^\infty {{n^\alpha }} - ({{\mathop{\rm e}\nolimits} ^{n\arcsin \left( {\frac{1}{{{n^2}}}} \right)}} - 1)\]$. Проблема в том, что у меня этот ряд получается далеко не всегда с неотрицательными членами и я не знаю как тогда доказывать сходимость/расходимость:
$\[\begin{array}{l} n \to \infty :\\ \arcsin \left( {\frac{1}{{{n^2}}}} \right) = \frac{1}{{{n^2}}} + \frac{1}{{6{n^6}}} + o\left( {\frac{1}{{{n^6}}}} \right);n\arcsin \left( {\frac{1}{{{n^2}}}} \right) = \frac{1}{n} + \frac{1}{{6{n^5}}} + o\left( {\frac{1}{{{n^5}}}} \right)\\ {e^{\arcsin \left( {\frac{1}{{{n^2}}}} \right)}} = 1 + \frac{1}{n} + \frac{1}{{2{n^2}}} + o\left( {\frac{1}{{{n^2}}}} \right)\\ {a_n} = \frac{1}{{{n^{ - \alpha }}}} - \frac{1}{n} - \frac{1}{{2{n^2}}} + o\left( {\frac{1}{{{n^2}}}} \right) \end{array}\] $

При $\[\begin{array}{l} - \alpha > 1:{a_n}\sim\frac{{ - 1}}{n} \end{array}\]$ Чувствую, что ряд расходится в этом случае, но как это объяснить?

При $\[\begin{array}{l} - \alpha \in (0;1): {a_n}\sim\frac{C}{{{n^\alpha }}},C > 0 \end{array}\]$ Ряд расходится по интегральному признаку

При $\[ - \alpha \le 0\,\,\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{1}{{{n^{ - \alpha }}}} \ne 0 \Rightarrow \]$ исходный ряд расходится, т.к. не выполняется необходимое условие сходимости ряда.

При $\[\begin{array}{l} - \alpha = 1 \Leftrightarrow \alpha = - 1: {a_n} = \frac{{ - 1}}{{2{n^2}}} + o\left( {\frac{1}{{{n^2}}}} \right)\ \sim \frac{{ - 1}}{{2{n^2}}} \end{array}\]$ Думаю в этом случае ряд будет сходиться, но опять мешает отрицательность ряда, как тут быть?

2)Дано задание разложить функцию в ряд Маклорена и найти радиус сходимости полученного ряда. Функцию я разложил, но получил в итоге две суммы которые невозоможно свести в одну. Тогда радиус сходимости полученного ряда из двух сумм будет равен наименьшему из радиусов, найденных отдельно для каждой суммы?

[SpBTimes]

1) Чётко не проверял ваше разложение по Маклорену, но можно доказать теорему (впрочем, вполне очевидную) что если $a_{n} = b_{n} + c_{n}$ и $c_{n}$ сходится абсолютно, то $a_{n}$ и $b_{n}$ ведут себя одинаково.
То есть исходный ряд ведёт себя так, как $\frac{1}{n^{-\alpha}} - \frac{1}{n}$
А такой ряд от альфы исследовать просто
2) да, если центр не смещён

[ewert]

Второе слагаемое ведёт себя откровенно как одна энная (которая даёт расходящийся ряд), поправка же к той одной энной во втором слагаемом -- порядка одной энной в квадрате, ряд из которой сходится и, следовательно, не влияет на сходимость или расходимость всего остального, т.е. на эту поправку можно просто не обращать внимания. Первое же слагаемое никак не в силах погасить ту одну энную, если только сам с ней не совпадает: он или много меньше одной энной (и тогда на фоне её несущественен), или много больше (и тогда именно он доминирует и даёт расходимость). Отсюда сразу и вывод.

[give_up]

Cпасибо

[0n0]

надо оценить сходимость с помощью признаков сравнения
общий вид члена $\frac{1}{(n+1)(\sqrt{n+2})}$


$ \frac{1}{(n+2)^2}$<$\frac{1}{(n+1)(\sqrt{n+2})}$<$\frac{1}{(n+1)}$<$\frac{1}{n} $но ряд $ \frac{1}{n} $ расходиться, а ряд$\frac{1}{(n+2)^2}$ сходиться, поэтому не получается применить признак.

[ИСН]

А ряд $1\over n^{3/2}$ Вы когда-нибудь видели? Знаете, с чем его едят?