Кусочно-линейная функция на квадрате

[Gortaur]

Если на квадрате $Q = [0,1]^2$ задана непрерывная кусочно-линейная функция, то $Q = \bigcup_{i=1}^n Q_i$, на каждом из $Q_i$ функция линейна и $Q_i$ - многоугольники?

[Хорхе]

Это смотря что кусочно линейной функцией называть. Если это непрерывная функция, которая в каждой точке $Q$ равна одной из данного конечного набора линейных, то ответ положительный.

(Реплика зануды)

Функция кусочно-линейна, если она одновременно кусочная и линейная (как кисло-сладкий соус или бело-сине-красный флаг). Если же она линейна кусками, то она кусочно линейная.

[мат-ламер]

Будет ли функция линейна на отдельном многоугольнике? Лучше назвать её аффинной.

[Хорхе]

А почему бы ей не быть линейной? Ежели для $x,y\in Q_i$ $\alpha x+\beta y\in Q_i$, то $f(\alpha x+ \beta y) = \alpha f(x) + \beta f(y)$. Но для афинных тоже верно, буде они имелись в виду.

[Gortaur]

Вообще, я имел ввиду piecewise affine, но на русский перевел как линейную. А какая разница между линейными и аффинными?

[ewert]

Разница в том, что в русском языке "аффинных функций" как-то не бывает. Во всяком случае, если речь идёт об обычных числовых функциях одной или нескольких переменных, а не об абстрактных аффинных пространствах.

Аффинная функция -- это линейная (в узком смысле) плюс константа. Т.е. просто линейная в обычном смысле. Соотв., линейная (в узком смысле) --это такая аффинная, которая в нуле равна нулю.

[Gortaur]

Именно поэтому и написал линейную, потому что уж для одной переменной линейной называют $ax+b$.

[Хорхе]

(Оффтоп)

Дело вкуса -- кто делит на аффинные и линейные, кто на линейные функции и линейные формы. Мне больше нравится первый вариант, все-таки линейной функции не помешало бы быть линейной.

[ewert]

(Оффтоп)

Хорхе в сообщении #436945 писал(а):

линейной функции не помещало бы быть линейной.

это вопрос стилистики. Называть аффинное отображение или функционал линейным, конечно, нельзя -- в этих словосочетаниях понятие линейности жёстко закреплено. А вот для функций как-то наоборот. Формально правильно, а по существу чересчур вычурно. Хотя смотря в каком контексте, конечно.

[Gortaur]

(Оффтоп)

В англоязычной это разделение есть - и так получается понятнее (in my h... opinion)