Сферическая система координат

[evgeniy]

Подразумевается что начальные условия для функции нулевые, а для производной конечные.

[shwedka]

evgeniy в сообщении #436703 писал(а):

ДЛя этого воспользуемся дифференциальным уравнением, определяющим направление плоскости сечения главных радиусов кривизны, т.е. имеем два дифференциальных уравнения
$\frac{du}{dv}=g(u,v)$
$\frac{dv}{du}=h(u,v)$

Не имеете таких уравнений.

evgeniy в сообщении #436703 писал(а):

Получаем квадратичную форму
$Adu^2+2Bdudv+Cdv^2=ds_1^2(v_0)+ds_2^2(u_0)$

Не получаете. Если по-честному провести вычисления, без размахивания руками, то не получится такого.

evgeniy в сообщении #436703 писал(а):

Причем к ней не применима теорема Гаусса о кривизне, для ее применимости необходимо, чтобы $s_1(u_0,v_0),s_2(u_0,v_0)$

И с чего Вы это взяли?

evgeniy в сообщении #436703 писал(а):

получим определяющую ортогональные координаты кривую u=u(v,c), где константа определяет начальную точку

Вы получите семейство кривых. Начиная с этого места Вы стыдливо прячете эту константу. Отсюда и неправда.
Ваши 'новые переменные' будут еще и от этих констант зависеть, и эту зависимость нельзя игнорировать при вычислении полных дифференциалов.

Весь обман будет виден сразу, когда Вы станете писать все не в общем виде, а для стандартных сферических координат, где уже метрический тензор имеет диагональную форму, уже координатные линии идут вдоль главных кривизн и тп.

[evgeniy]

Я нашел в интернете тома Смирнова и могу написать откуда я взял эту формулу
$\frac{du}{dv}=g(u,v)$
$\frac{dv}{du}=h(u,v)$
Я и сам несколько удивлен простой формулы, которая получается для величины $s_1=s_1(v_0)$.
Дифференциальные уравнения взяты из Смирнова, т.2, параграф 146, стр. 418. Параграф называется Линия кривизны. 1974г., нЕобходимо прочесть и параграф 147, в котором говорится, что для получения ортогонального решения необходимо ввести дополнительные условия, я взял отличающиеся условия, g(u,v)h(u,v)=-1. Это тоже условие ортогональности построенной сетки кривых.

[shwedka]

evgeniy в сообщении #437734 писал(а):

Я и сам несколько удивлен простой формулы, которая получается для величины $s_1=s_1(v_0)$.

Не получается.

shwedka в сообщении #436895 писал(а):

Весь обман будет виден сразу, когда Вы станете писать все не в общем виде, а для стандартных сферических координат, где уже метрический тензор имеет диагональную форму, уже координатные линии идут вдоль главных кривизн и тп.

[evgeniy]

В стандартных формулах сферической системы координат нет дифференциального уравнения, которое я привел и невозможно отделить ортогональные кривые одну от другой, что можно сделать с помощью дифференциального уравнения. Так что нужно рассуждать, используя дифференциальное уравнение.

[shwedka]

evgeniy в сообщении #437751 писал(а):

нет дифференциального уравнения

Вот я и писала, что его нет.

Поскольку уже стандартные сферические координаты ортогональны и идут вдоль линий
кривизны, то
Ваши уравнения имеют вид
$\frac{du}{dv}=0$
$\frac{dv}{du}=0$
Произведение -1 получить трудно!

shwedka в сообщении #436895 писал(а):

Весь обман будет виден сразу, когда Вы станете писать все не в общем виде, а для стандартных сферических координат, где уже метрический тензор имеет диагональную форму, уже координатные линии идут вдоль главных кривизн и тп.

[evgeniy]

Дело в том, что сферические формулы не приведены к виду
$ds^2=ds_1^2(v_0)+ds_2^2(u_0)$
а имеют вид
$ds^2=d\theta^2+sin^2\theta d\phi^2$
что говорит о их не пригодности для построения алгоритма на прямую. Но как всякое параметрическое задание уравнения поверхности можно вычислить для них дифференциальное уравнение для построения сетки на поверхности тела, причем не обязательно тело является сферой. Но зачем это делать, когда можно посмотреть общие формулы для вычисления правых частей дифференциальных уравнений и они не равны нулю. Это имеет смысл делать, только в том случае, если получится формульное решение этого дифференциального уравнения и если мне будет не лень я этим займусь. Но дело в том, что надо еще решить нелинейное уравнение, что сводит на нет шансы получить формульное решение. Заманчиво получить формулу для уравнения поверхности для сферы.
Еще одна сложность, эта система координат ортогональна, значит условие g(u,v)h(u,v)=-1 будет выполняться автоматически, и получить раздельные дифференциальные уравнения не удастся.

[shwedka]

evgeniy в сообщении #437768 писал(а):

Дело в том, что сферические формулы не приведены к виду
$ds^2=ds_1^2(v_0)+ds_2^2(u_0)$

Не только не приведены, но их и невозможно привести.

evgeniy в сообщении #437768 писал(а):

Еще одна сложность, эта система координат ортогональна, значит условие g(u,v)h(u,v)=-1 будет выполняться автоматически,

Неправда.

shwedka в сообщении #437755 писал(а):

Ваши уравнения имеют вид
$\frac{du}{dv}=0$
$\frac{dv}{du}=0$

evgeniy в сообщении #437768 писал(а):

Но как всякое параметрическое задание уравнения поверхности можно вычислить для них дифференциальное уравнение для построения сетки на поверхности тела, причем не обязательно тело является сферой.

Зачем строить, если уже есть ортогональная сетка?

evgeniy в сообщении #437768 писал(а):

то говорит о их не пригодности для построения алгоритма на прямую.

То есть для сферы Ваш алгоритм не работает.

evgeniy в сообщении #437768 писал(а):

если мне будет не лень я этим займусь

Прекрасно! То есть теперь дело в лени! А не лень было писать чушь на 13 страницах, пытаясь опровергнуть Гаусса?

shwedka в сообщении #437755 писал(а):

Весь обман будет виден сразу, когда Вы станете писать все не в общем виде, а для стандартных сферических координат,

[evgeniy]

Не понимаю почему надо вести рассуждения в сферических координатах. Вы пишите, что в них справедливо
$\frac{du}{dv}=0$
$\frac{dv}{du}=0$
Значит эти координаты не справедливы для данного алгоритма и надо считать в других координатах, в которых правая часть не равна нулю. ПОсмотрите СМирнова, такие координаты есть, и в них надо считать и рассуждать. Если же в сферических координатах правая часть не равна нулю, то все равно они не подходят, как ортогональные, для которых выполняется g(u,v)h(u,v)=-1 автоматически. нАдо рассуждать в тех координатах, в которых возможно решение, и копаться в этих координатах.

[shwedka]

evgeniy в сообщении #437804 писал(а):

Не понимаю почему надо вести рассуждения в сферических координатах

Посмотрите на название темы.

evgeniy в сообщении #437804 писал(а):

Значит эти координаты не справедливы для данного алгоритма

Не доказано, что хоть какие-нибудь координаты справедливы.

evgeniy в сообщении #437804 писал(а):

ПОсмотрите СМирнова, такие координаты есть, и в них надо считать и рассуждать

Да, есть, например, стандартные сферические. В них и считайте. Или в каких-то других. Но конкретно.

evgeniy в сообщении #437804 писал(а):

для которых выполняется g(u,v)h(u,v)=-1 автоматически

Такое не выполняется НИКОГДА!! Вы, как всегда, напутали!

evgeniy в сообщении #437804 писал(а):

нАдо рассуждать в тех координатах, в которых возможно решение

Таких координат на сфере нет.

shwedka в сообщении #437772 писал(а):

Весь обман будет виден сразу, когда Вы станете писать все не в общем виде, а для стандартных сферических координат,

-- Пт апр 22, 2011 18:49:46 --

Нечего ссылаться на Смирнова. Вы, как водится, его переврали.

evgeniy в сообщении #437734 писал(а):

я взял отличающиеся условия, g(u,v)h(u,v)=-1. Это тоже условие ортогональности построенной сетки кривых.

Это НЕ условие ортогональности.

[evgeniy]

Я ничего не напутал, и не нужно меня обвинять в том, что я не сделал. Я сказал, что если правые части дифференциальных уравнений не нулевые и координаты ортогональные, то уравнение g(u,v)h(u,v)=-1 выполняется автоматически. пОчитайте параграф 147 Смирнова, там говорится об условии ортогональности.
Можно конечно выбрать не ортогональные координаты, например
$x_1=sin\phi_1/\sqrt{1+cos^2\phi_1 tan^2\phi_2}$
$x_2=sin\phi_2/\sqrt{1+cos^2\phi_2 tan^2\phi_1}$
$x_3=cos\phi_1/\sqrt{1+cos^2\phi_1 tan^2\phi_2}$
$x_1^2+x_2^2+x_3^2=1$
эти углы не ортогональны и периодичны, и определяются по формуле
$\phi_l=arg(x_3+ix_l)$
но что это изменит, рассуждения останутся такими же абстрактными, и приведут к тому же результату, только придется проводить долгие вычисления. Вы же математик, и значит привычны к абстрактным рассуждениям.

[shwedka]

evgeniy в сообщении #437823 писал(а):

приведут к тому же результату, только придется проводить долгие вычисления

Не приведут. Вы пытаетесь опровергнуть один из классических результатов, поэтому размахивания руками недостаточно.

Нужно провести все вычисления подробно. У Вас НЕТ абстрактного построения, поскольку Вы НЕ вычислили полные дифференциалы новых переменных и НЕ подставили их в метрическую форму.

Вы уже не в первой теме пытаетесь подменить полный дифференциал 'дифференциалом вдоль кривой'.

Нечего ссылаться на Смирнова. Вы, как водится, его переврали.

Цитата:

evgeniy в сообщении #437734 писал(а):
я взял отличающиеся условия, g(u,v)h(u,v)=-1. Это тоже условие ортогональности построенной сетки кривых.

Это НЕ условие ортогональности.

[evgeniy]

Опять Вы не справедливы. Как известно условие ортогональности двух кривых $y_x^{'} x_y^{'}=-1$. Я и написал, что у меня условие ортогональности отличается от принятого у Смирнова, у которого необходимо равенство нулю смешанной производной, т.е. ортогональность координат. пРи вЫполнении этого условия, кривые y=y(x),x=x(y) будут ортогональны. эТо доказывается в аналитической геометрии.

[shwedka]

evgeniy в сообщении #437850 писал(а):

Опять Вы не справедливы. Как известно условие ортогональности двух кривых $y_x^{'} x_y^{'}=-1$

Не как известно. Это НЕ условие ортогональности.

Возьмите оси координат. Там каждая производная ноль, произведение ноль.
Возьмите линии под углами 60 и 150 градусов к оси х. Там это произведение равно -1/3.

Вы, как всегда, напутали.

Правильная формулировка.
ЕСли имеются две кривые
$u_1(v), u_2(v)$ на $(u,v)$ плоскости
то условие ортогональности в точке персечения
$ \frac{du_1}{dv}\frac{du_2}{dv}=-1,$
конечно, если производные существуют.

[evgeniy]

Условие ортогональности двух прямых линий $k_1 k_2=-1$, где величина $k_l,l=1,2$ тангенс наклона двух ортогональных линий. ИМеем две кривые y=y(x) с тангенсом наклона $y_x^{'}$ и другая кривая x=x(y) с тангенсом наклона $x_y^{'}$. В точке перечения этих двух кривых, кривые локально заменяем касательными с соответствующим тангенсом наклона. получаем условие ортогональности касательных, а значит и двух кривых $y_x^{'} x_y^{'}=-1$.
ПОчему необходимо писать элементарные вещи, почему Вы меня все время подозреваете в обмане или не правильном изложении.
Кроме того справедливо tan(60) tan(150)=tan(60)(-ctan(60))=-1.