Сферическая система координат

[evgeniy]

Рассматривается квадратичная форма
$dK(u,v)^2=du^2+u^2dv^2$
Ищется минимум функционала
$min\int_{v=0}^{v_0}\sqrt{(\frac{du}{dv})^2+u^2}dv=min\int_{v=0}^{v_0}L[\frac{du}{dv},u]dv$
Условие минимума функционала
$\frac{\partial L}{\partial u}-\frac{d}{dv}(\frac{\partial L}{\partial \dot u})=0,\dot u=\frac{du}{dv}$
подставляя функцию лагранжа и дифференцируя, получим два дифференциальных уравнения, одно из них второго порядка, а другое первого. Физический смысл имеет дифференциальное уравнение второго порядка. оно имеет вид
$\frac{d^2 u}{dv^2}+u=0$
и имеет решение
$u=\alpha \sin v$
Вычисляем длины дуг
$s_1=\int_{v=0}^{v_0} | \frac{du}{dv}|dv=\int_{v=0}^{v_0}\alpha |\cos v|dv=\int_{v=0}^{v_0}\alpha [a_0/2+\sum_{n=1}^{\infty} a_n \cosnv]dv=\alpha[a_0 v_0/2+\sum_{n=1}^{\infty} a_n \sin n v_0]$
для второй огибающей имеем
$s_2=\int_{v=0}^{v_0}|u|dv=\int_{v=0}^{v_0}\alpha |\sin v|dv=\int_{v=0}^{v_0}\alpha [b_0/2+\sum_{n=1}^{\infty} b_n \cosnv]dv=\alpha[b_0 v_0/2+\sum_{n=1}^{\infty} b_n \sin n v_0]$
Т.е. имеем
$s_l=\alpha h_l(v),l=1,2$
Каковы свойства этих длин дуг.
$dK(u,v)^2=ds_1^2+ds_2^2$
В данном случае параметр $\alpha$ сокращается и на квадратичную форму не оказывает влияние этот параметр. Но это не всегда так. В принципе константа $\alpha$ не обязательно является множителем, а может входить в функцию, определяющую длину дуги. Квадратичная форма определена только при фиксированном значении параметра $\alpha$. ПОчему? При фиксированном v, изменение параметра $\alpha$ приведет к переходу на другую кривую, что невозможно в квадратичной форме, которая определена вдоль определенных кривых, которые параметризуют уравнение поверхности. Возможно движение только вдоль этих кривых. А если возможно изменение параметра $\alpha$, то одновременно с функцией $u=u(\alpha,v)$ . Т.е. полученное параметрическое задание кривых $s_l=s_l(\alpha,v)$ определяет квадратичную форму только при фиксированном $\alpha$, когда эта квадратичная форма имеет смысл. А она имеет смысл вдоль кривых с постоянным $\alpha$.

[shwedka]

evgeniy в сообщении #427624 писал(а):

Каковы свойства этих длин дуг.
$dK(u,v)^2=ds_1^2+ds_2^2$

Приведите вычисления, подтверждающие это.

[evgeniy]

$s_1=\int_{v=0}^{v_0}|\frac{du}{dv}|dv$
Значит
$ds_1=|du|$
не совсем так, знак модуля нужно использовать осторожнее, но при положительном dv получим эту формулу.
Так как дуги определяются при $\alpha$, равном константе.
$s_2=\int_{v=0}^{v_0}|u|dv$
$ds_2=|u|dv$
Эти соотношения получены при условии, что $\alpha$, равно константе, так определяются длины дуг. Кроме того использовано, что производная от интеграла от одной переменной равна подынтегральной функции.

[shwedka]

evgeniy в сообщении #427645 писал(а):

$s_1=\int_{v=0}^{v_0}|\frac{du}{dv}|dv$
Значит
$ds_1=|du|$

неверно.
Вспомните формулуи полного дифференциала.

evgeniy в сообщении #427645 писал(а):

Так как дуги определяются при $\alpha$, равном константе.
$s_2=\int_{v=0}^{v_0}|u|dv$
$ds_2=|u|dv$
Эти соотношения получены при условии, что $\alpha$, равно константе,

В формуле замены переменных никаких таких условий нет.
Нужно применять формулу полного дифференциала.

[evgeniy]

Что я могу сказать. Формула для вычисления величины $u=u(\alpha,v)$ получена при условии постоянства $\alpha$, которое которое определяется из $\frac{du}{dv}|_{v=0}$, т.е. получается, что $\alpha$ просто функция кривой в точке v=0. Значит и формула $s_1=s_1(\alpha,v_0)$ получена при условии постоянства $\alpha$.
Других соображений у меня нет, т.е. формулы для u запишется в виде
$u=g[\alpha(\frac{du}{dv}|_{v=0}),u_1(v)]$
где $g[\alpha,u_1(v)] $ функционал от функций u_1(v), т.е. $g[\alpha,u_1(v)] $ является минимумом интеграла относительно функций u_1(v). Поэтому $\alpha$ является константой при определенном u(v).

[shwedka]

evgeniy в сообщении #427663 писал(а):

Других соображений у меня нет,

Давайте выразимся точно.
Вы хотите преобразовать форму длины от переменных (u,v) k к переменным (s_1,s_2) tak, так, чтобы получилась форма желаемого Вами вида.
Вы как-то строите эти функции. Даже совсем не существенно как. А потом нужно проверить, что Вы не обманываете. Для этого нуижно по-честному провести замену переменных в форме.

Что это значит?
Нужно взять полные дифференциалы функций s_1,s_2, то есть сосчитать их частые производные, подставить в Вашу формулу ds_1^2+ds_2^2 и удостовериться, что получается исходная форма. При этом, как это и трбуется для функций двух переменных
дифференциалы du, dv независимы.

Итак, повторяю, для замены переменных нужны полные дифференцилы.
вы же находите нечто, что обозначаете тем же символом, но что называтее дифференциалом вдоль кривой ($\alpha$ является константой при определенном u(v)) . Я даже и не хочу проверять, правильньно ли Вы эту величину сосчитали. Это совершенно не принципиально Может быть, она и очень полезна. Но это не то, что требуется в формуле замены переменных. Там требуется полный дифференциал.
То есть, в Вашей ситуации, нужно учесть изменение не только вдоль кривой, но и поперек.
то есть при переходе с одной кривой на другую, то есть при изменении Вашего параметра $\alpha$. То, что Вы это изменение сосчитать не можете не оправдывает Вашу подмену полного дифференциала Вашим кривым частным дифференциалом. Формула замены переменных требует настоящих частных производных. Точка. В любой книге Вы это найдете.

Так что, когда научитесь считать частные производные построенных Вами функций
(а пока Вы умеете их дифференцировать только вдоль кривой), заходите, покажите.
А пока-- следите получше за своими функциями, чтобы опять подмены нелегальной не совершить. а то плохо о Вас подумать могут.


Да, если Вам захочется заявить, что Ваш частный дифференциал и равен полному, то, будьте добры,
1. Прочитайте в произвольном учебнике определение полного дифференциала
2. докажите,-что ВАш частный дифференциал равен полному.

И все в одном сообщении. Хватит с Вас недоказанных заявлений.

[evgeniy]

Я подумаю, но уже сейчас видно, что имеем зависимость между функцией и точкой $u(v),v_0$ и значением двух точек $s_l,l=1,2$ и правила вычисления полного дифференциала с помощью частных производных к этому случаю не относятся. Они применимы, если бы u(v) было бы независимой координатой. А здесь полный кавардак, значение $s_l,l=1,2$ определяются $u(v),v_0$, причем $v_0$ верхний предел при вычислении интеграла с участием u(v). Какие здесь правила получения полного дифференциала поищу в литературе и подумаю.

[shwedka]

повторяю.
Если Ваши $s_l,l=1,2$ - это что-либо кроме функций двух независимых переменных, они не могут выступать в качестве новых переменных. Поэтому дальнейшие вычисления с ними уже бессмысленны; можете уже не стараться вычислять полные дифференциалы или что-то еще : Вы производите вычисления с не тем объектом, который нужен, и результат, каким бы он ни был, не имеет отношения к заявленной теме, сферической системе координат.

[evgeniy]

Идеалогия такая, имеем поверхность, т.е. координаты u,v и коэффициенты, определяющие поверхность
$dK^2=A(u,v)du^2+B(u,v)dudv+C(u,v)dv^2$
Чтобы K была однозначна, надо получить кривую u(v), как функция двух переменных эта квадратичная форма не определена, для однозначности результата ее пространство изменения нужно сузить, задавая функцию u(v).
$dK=\sqrt{A(u,v)(\frac{du}{dv})^2+B(u,v)\frac{du}{dv}+C(u,v)}dv$
Величина K для однозначности результата зависит от величины u(v),v а не функции двух переменных u,v. В результате манипуляций удалось определить функции u(v), которые определяют величину $s_l,l=1,2$ в зависимости от величин u(v),v_0. Но имеется функция u(v), и значению $v_0$ соответствует $u_0=u(v_0)$ на заданной кривой. Но нельзя сказать, что существует функция $s_l=s_l(u_0,v_0),l=1,2$. Существует функционал, ставящий соответствие между $s_l=s_l[u(v_0),v_0],l=1,2$, где u(v) определяется и является переменным при фиксированном v. Но как функция, при заданном u(v) определяется величина функции одной переменной $s_l=s_l[u(v_0),v_0],l=1,2$
Т.е. получается функция двух переменных, но на кривой линии u(v) и это вынужденное определение системы координат.

[shwedka]

evgeniy в сообщении #428489 писал(а):

это вынужденное определение системы координат.

Это не определение системы координат. Если одна из функций задана только на кривой, она не может служить координатой на поверхности. Все вычисления с ней бессмысленны и являются зряшней тратой времени и неэкономным расходом электронов.


Если Вы хотите все же получить координату, то Вам следует рассмотреть семейство Ваших кривых, заполняющее область на плоскости двух переменных.

[evgeniy]

Конечно же семейство кривых, зависящих от параметра, но рассматривать каждую кривую надо по отдельности, так как этот параметр определяется кривой. Поэтому кривые независимы и заполняют всю поверхность тела.

[shwedka]

evgeniy в сообщении #428499 писал(а):

Конечно же семейство кривых, зависящих от параметра, но рассматривать каждую кривую надо по отдельности, так как этот параметр определяется кривой. Поэтому кривые независимы и заполняют всю поверхность тела.

Таким образом, Вы получите функцию двух переменных, и у нее ПО-ЧЕСТНОМУ нужно считать полный дифференциал. Я уже объяснила. Не вдоль кривой, а полный. Если не можете, то Ваша личная заморочка.

Цитата:

evgeniy в сообщении #428489 писал(а):
Чтобы K была однозначна, надо получить кривую u(v), как функция двух переменных эта квадратичная форма не определена,

Ваше новое ошибочное измышление. До Вас прекрасно определяли 'первую квадратичную форму' или 'метрический интервал' без всяких интегрирований. На сфере в стандартных координатах форма определена всюду.
Так что, пожалуйста, перестаньте употреблять это 'надо', пока Вы не в состоянии представить весомые аргументы и доказательства.

Цитата:

evgeniy в сообщении #428489 писал(а):
Но нельзя сказать, что существует функция $s_l=s_l(u_0,v_0),l=1,2$.

Раз такой функции не существует, значит, нет и координат на сфере. 12 страниц пустого разговора.

[evgeniy]

ВСе что я мог сказать, я сказал. Повторять не имеет смысла. Поэтому заканчиваю тему.

[evgeniy]

Появилась новая идея как построить систему координат. Начну с начала, возможны повторения. ИМеем квадратичную форму, приведем ее к диагональному виду
$Adu^2+2Bdudv+Cdv^2=\lambda_1 dx_1^2+\lambda_2 dx_2^2=ds_1^2+ds_2^2 $
где имеем $dx^l=\sum_{k=1}^2 g_{lk}du_k$, $\lambda_l$, собственные числа.
ДЛя построения интеграла по вычислению $ds_l$, надо найти путь интегрирования. ДЛя этого воспользуемся дифференциальным уравнением, определяющим направление плоскости сечения главных радиусов кривизны, т.е. имеем два дифференциальных уравнения
$\frac{du}{dv}=g(u,v)$
$\frac{dv}{du}=h(u,v)$
эти дифференциальные уравнения определяют главные радиусы кривизны, если в квадратичных формах положить равными нулю смешанные коэффициенты см. Смирнов, или воспользоваться условием g(u,v)h(u,v)=-1.
ОТкуда получаем зависимость для параметров u=u(v) для получения ортогональной сетки координат. При этом два связанных дифференциальных уравнения разбиваются на два независимых уравнений, одно из которых я запишу
$\frac{du}{dv}=g[u(v),v]$
Решая это дифференциальное уравнение, получим определяющую ортогональные координаты кривую u=u(v,c), где константа определяет начальную точку. Подставим в интеграл
$s_1=\int_{0}^{v_0}\sqrt{\lambda_1[u(v),v]}[g_{11}[u(v),v]\frac{du[u(v),v]}{dv}+g_{12}[u(v),v]]dv=s_1(v_0)$
Совершенно аналогично определяем вторую координату $s_2=s_2(u_0)$. Получаем квадратичную форму
$Adu^2+2Bdudv+Cdv^2=ds_1^2(v_0)+ds_2^2(u_0)$
Причем к ней не применима теорема Гаусса о кривизне, для ее применимости необходимо, чтобы $s_1(u_0,v_0),s_2(u_0,v_0)$.
Возможно обобщение на N мерное пространство, но это в следующей сообщении.

[Kallikanzarid]

evgeniy в сообщении #427624 писал(а):

Физический смысл имеет дифференциальное уравнение второго порядка. оно имеет вид
$\frac{d^2 u}{dv^2}+u=0$
и имеет решение
$u=\alpha \sin v$

А где фаза?