Куб из "уголков" (почти)

[Xenia1996]

Можно ли из двадцати одного ''уголка'' (каждый из которых склеен из трёх кубиков $1\times 1\times 1$) и одного отдельного кубика $1\times 1\times 1$ сложить куб $4\times 4\times 4$?

Если можно, приведите пример.
Если нельзя, докажите.

[MrDindows]

Можно...
Соединяем два уголка в прямоугольник 2х3х1. Два таких прямоугольника в прямоугольник 4х3х1. Четыре такие штуки в фигуру 4х3х4. Остаётся сложить квадрат 4х1х4. Ложим 4 уголка по углам=) 1 в середину и последним кубиком закрываем дырку...

[Xenia1996]

В оригинальном тексте задачи спрашивалось про каждый из кубов вида $3k+1\times 3k+1\times 3k+1$, чтобы был только один единичный кубик, а все остальные - уголки. Но я - честная. Решить в общем случае не смогла - постить не стала.

[мат-ламер]

(Оффтоп)

Но это не математика, а решение головоломок. Математикой это было бы в том случае, если бы можно было доказать невозможность построения.

[ИСН]

А как Вы, мат-ламер, хотите доказывать невозможность, когда налицо возможность? Или не нравится сама идея? Тогда послушайте: можно ли впихнуть в куб 3x3x3 шесть пространственных уголков (по 4 кубика)?

-- Вс, 2011-04-10, 16:35 --

А также 16 их - в куб 4x4x4 (это ещё проще). А 31 - в куб 5x5x5 (с этим пока не разобрался).

[MrDindows]

Xenia1996 в сообщении #433181 писал(а):

В оригинальном тексте задачи спрашивалось про каждый из кубов вида $3k+1\times 3k+1\times 3k+1$, чтобы был только один единичный кубик, а все остальные - уголки. Но я - честная. Решить в общем случае не смогла - постить не стала.

По индукции.
Пусть мы выложили куб со стороной $(3k+1).$
Сделаем из него теперь куб со стороной $(3k+4)$

Так как одно из чисел $(3k+1)$ и $(3k+4)$ чётное то мы можем сделать фигуру $3$х$(3k+1)$x$(3k+4)$из фигурок 3х2х1. И накрыв три соседние стороны нашего куба тремя такими фигурами, получим куб со стороной $(3k+4)$

[мат-ламер]

ИСН. Насчёт куба 4*4*4 как-то понятно, поскольку куб 2*2*2 можно составить из двух уголков. Возможно куб 3*3*3 можно составить таким же образом - сначала куб 2*2*2, затем уголок в противоположный угол. Найдётся ли место для шестого уголка - без бумаги не хватает пространственного воображения. Пойду рисовать. Должно хватить.

[ИСН]

Должно? Ха!

[MrDindows]

MrDindows в сообщении #433226 писал(а):

Xenia1996 в сообщении #433181 писал(а):

В оригинальном тексте задачи спрашивалось про каждый из кубов вида $3k+1\times 3k+1\times 3k+1$, чтобы был только один единичный кубик, а все остальные - уголки. Но я - честная. Решить в общем случае не смогла - постить не стала.

По индукции.
Пусть мы выложили куб со стороной $(3k+1).$
Сделаем из него теперь куб со стороной $(3k+4)$

Так как одно из чисел $(3k+1)$ и $(3k+4)$ чётное то мы можем сделать фигуру $3$х$(3k+1)$x$(3k+4)$из фигурок 3х2х1. И накрыв три соседние стороны нашего куба тремя такими фигурами, получим куб со стороной $(3k+4)$

Упустил...тут ещё кубик 3х3х3 остаётся в углу. Который тоже кстати можно сделать из этих уголков.

В связи с этим появилось второе решение:
Так как мы можем сделать куб 3х3х3, то из таких кубиков мы делаем куб (3k)x(3k)x(3k).
Делаем ещё 3 фигуры (3k)x(3k+1)x1. Их тоже можно сделать. Если k - нечётное, то 3k+1 - чётное и эта фигура свободно выкладывается из фигурок 3х2х1. Если же k- чётное, то сначала надо выложить часть (3k)x(4)x1, а потом часть (3k)x(3k-3)x1 соответственно фигурами 3х2х1 в разных направлениях.
Ну вот собственно налаживаем эти три фигуры на три смежные стороны нашего куба и оставшийся кубик 1х1х1 запихиваем в свободный угол=)

[ИСН]

ИСН в сообщении #433207 писал(а):

можно ли впихнуть в куб 3x3x3 шесть пространственных уголков (по 4 кубика)?

всем пофиг?

[Xenia1996]

ИСН в сообщении #436618 писал(а):

ИСН в сообщении #433207 писал(а):

можно ли впихнуть в куб 3x3x3 шесть пространственных уголков (по 4 кубика)?

всем пофиг?

Не пофиг. Просто не могу пока доказать невозможность такой конструкции.

[ИСН]

[Null]

В 3х3 влазит не больше 2 плоских уголков. Разобьем 3х3х3 на 3 слоя. Уголок из 4 кубиков порождает в слое уголок из 3. В крайние влазит не больше чем по 2. Каждый уголок занимает в центральном слое по крайней мере 1 клетку. Если уголков 6 то сюда должно влезть 6 клеток + еще 2х2 от 2 недостающих уголков. Но 10>9.

[ИСН]

[Null]

Раскрасив 5х5х5 вот так заметим что 4 30 штук.
12121
34343
12121
34343
12121

43434
21212
43434
21212
43434

12121
34343
12121
34343
12121

43434
21212
43434
21212
43434

12121
34343
12121
34343
12121