Предел последовательности и предел функции.

[Mitrius_Math]

Давно возник этот вопрос, но я так до конца и не разобрался...
Следует ли из существования предела функции \lim_{x \to +\infty}f(x) существование предела последовательности \lim_{n \to \infty}f(n) и равенство \lim_{x \to +\infty}f(x)=\lim_{n \to \infty}f(n)? В частности, интересует возможность "косвенного" применения правила Лопиталя для вычисления предела последовательностей. Например, вычислим \lim_{n \to \infty}{\frac{\ln n }{n^2}}. Найдём соответствующий предел функции \lim_{x \to +\infty}{\frac{\ln x}{x^2}}= \lim_{x \to +\infty}{\frac{\frac{1}{x}}{2x}}= \lim_{x \to +\infty}{\frac{1}{2x^2}}=0. Значит, \lim_{n \to \infty}{\frac{\ln n }{n^2}}=0.
На другом форуме мне подсказали идею доказательства: нужно использовать определение предела функции по Гейне (на языке последовательностей). Пусть существует \lim_{x \to +\infty}f(x)=b. Это означает, что \forall x_n, такой, что \lim_{n \to \infty}{x_n}=+\infty, \lim_{n \to \infty}{f(x_n)}=b. Нужно доказать, что \forall \varepsilon>0 \ \exists k_1 \in \mathbb{N} \ \forall n>k_1 \ |f(n)-b|< \varepsilon. Это равносильно \lim_{n \to \infty}f(n)=b. По определению \lim_{n \to \infty}{f(x_n)}=b означает, что \forall \varepsilon>0 \ \exists k_2 \in \mathbb{N} \ \forall n>k_2 \ |f(x_n)-b|< \varepsilon. Но f(n) и f(x_n) - это ведь не одно и то же? Можно взять x_n=n, т.к. \lim_{n \to \infty}n=+\infty. Тогда утверждение доказано. Или я неправ?

[Sonic86]

Ну да. $\lim\limits_{x \to + \infty} f(x)$ существует и равен $A$, значит для любой последовательности $x_n$ (в частности $x_n=n$) предел тоже существует и равен томе же $A$. И вроде как доказывать ничего не нужно, достаточно сослаться на эквивалентность определений по Гейне и по Коши.

[Mitrius_Math]

Sonic86, спасибо. Но для меня это было далеко не очевидно.

[AD]

Цитата:

эквивалентность определений по Гейне и по Коши.

Цитата:

для меня это было далеко не очевидно

Вы либо не вчитались, либо конструктивист (: