Разложение полинома по степеням

[guranvir]

Что такое разложение многочлена на степени. В задании было сказано разложить полином по степеням x-1. Это просто надо делить многочлен на x-1,пока не получим в частном 1 или остатка? Или что? Гугл и справочники просто говорят о разложении на множители

[Joker_vD]

Это примерно вот так: $x^3 + 2x+1 = (x-1)^3 + 3(x-1)^2 + 5(x-1) + 4$. Лично мне известен только один способ произвести такое разложение — воспользоваться формулой Тейлора для многочлена:

$$f(x) = \sum_{k=0}^{\deg f} \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k$$

[мат-ламер]

Можно сделать замену $y=x-1, x=y+1$.

[svv]

Или можно, обозначив $x-1=y$, вместо $x$ подставить $y+1$:
$(y+1)^3 + 2(y+1)+1 = y^3+3y^2+3y+1 + 2y+2 + 1=y^3+3y^2+5y+4$

[nnosipov]

svv в сообщении #436425 писал(а):

Или можно, обозначив $x-1=y$, вместо $x$ подставить $y+1$:
$(y+1)^3 + 2(y+1)+1 = y^3+3y^2+3y+1 + 2y+2 + 1=y^3+3y^2+5y+4$

Нет, ну это перебор. Вы думаете, объяснить, что такое бином Ньютона, будет проще, чем научить переразлагать многочлен по сдвинутой переменной? Здесь самое простое и естественное средство --- это схема Горнера, она на ура идёт, просекают все почти с первого раза.

[VAL]

Joker_vD в сообщении #436419 писал(а):

Это примерно вот так: $x^3 + 2x+1 = (x-1)^3 + 3(x-1)^2 + 5(x-1) + 4$. Лично мне известен только один способ произвести такое разложение — воспользоваться формулой Тейлора для многочлена:

Стандартный прием - с помощью схемы Горнера.

[Mitrius_Math]

VAL в сообщении #436433 писал(а):

Стандартный прием - с помощью схемы Горнера.

Проще несколько раз поделить в столбик.
Guranvir, посмотрите в Сети книги "Алгебра многочленов" Винберга и "Задачник-практикум по алгебре" Солодовникова и Родиной. Там есть решённые задачи такого типа.

[Joker_vD]

Вот что значит урезанный курс алгебры Позорнейшим образом забыл про теорему Безу и вытекающую из нее схему Горнера.

guranvir
Действительно, воспользуйтесь схемой Горнера и проделите на $(x-1)$ до победного конца — это самый быстрый способ.

[VAL]

Mitrius_Math в сообщении #436434 писал(а):

VAL в сообщении #436433 писал(а):

Стандартный прием - с помощью схемы Горнера.

Проще несколько раз поделить в столбик.

А что есть схема Горнера, как не экономный метод деления "в столбик" (несколько раз) на двучлен $x-a$?

[Mitrius_Math]

VAL в сообщении #436452 писал(а):

А что есть схема Горнера, как не экономный метод деления "в столбик" (несколько раз) на двучлен ?

Лично мне проще делить в столбик.