Исследовать функцию на равномерную непрерывность #2

[PostPunk]

Добрый день!
поставлена следующая задача:
Исследовать функцию на равномерную непрерывность:
$y(x)=\ln{(1-|x|)}$

на промежутке $|x| < 1$.

Я решил действовать так.
1. Рассмотреть две последовательности, сходящиеся к единице, тогда модуль разности элементов последовательностей с одинаковыми номерами будет стремиться к нулю с возрастанием номера.
2. Рассмотреть разность функций от элементов этих последовательностей, в общем случае.

Итак.
а) рассмотрим последовательности:
1. $1-\frac{1}{e^n}$
2. $1-\frac{1}{e^{2n}}$

При стремлении n к бесконечности последовательности сходятся к единице, их разность стремится к нулю.
т.к. $\frac{1}{e^n}$ и $\frac{1}{e^{2n}}$ стремятся к единице снизу (т.е. все их значения меньше единицы при любых натуральных $n$), то элементы данных последовательностей всегда будут положительными, значит значение модуля можно опустить.

Посчитаем разницу значений функции $|\ln{(1-1+\frac{1}{e^n})} - \ln{(1-1+\frac{1}{e^{2n}})}| = -n + 2n = n$.
Т.е. при возрастании $n$ разница между значениями функции будет увеличиваться, тогда как соответствующая ей разница значений аргументов будет стремиться к нулю.
Значит мы всегда можем найти такое $eps$ для которого при любом $\sigma$ найдутся элементы с определенным номером $n$, разность значений которых будет меньше $\sigma$, однако разность значений соответствующих значений функции будет больше $eps$.
Отсюда следует что функция не является равномерно непрерывной в области $|x| < 1 $.

Подскажите, корректно ли данное доказательство? Если же нет, то в каком именно месте?

[--mS--]

Вполне.

(Оффтоп)

$\ln$, $\varepsilon$ набираются так.

[ewert]

PostPunk в сообщении #435942 писал(а):

Исследовать функцию на равномерную непрерывность:
$y(x)=ln{(1-|x|)}$

на промежутке $|x| < 1$.

Не понял юмору. О какой вообще равномерной непрерывности может идти речь, если функция попросту уходит на бесконечность (не важно какого знака) по мере приближения к концам промежутка?...

[PostPunk]

Неравенство на промежутке строгое, значит единица не достигается, особых точек на промежутке функция не имеет и, следовательно, непрерывна.

Геометрически не равномерная непрерывность очевидна, требуется доказательство по определению.

P.S. Вопрос решен, большое спасибо.

[ewert]

PostPunk в сообщении #436318 писал(а):

Геометрически не равномерная непрерывность очевидна, требуется доказательство по определению.

Пожалуйста, именно по определению.

Теорема. Пусть функция определена на интервале $(a;b)$ и стремится к бесконечности хоть в каком-нибудь смысле при $x\to b$. Тогда она не является равномерно непрерывной на этом интервале.

Доказательство. Равномерная непрерывность означает, что $(\forall\varepsilon>0)\exists\delta>0:(\forall x,y:|x-y|<\delta)\ |f(x)-f(y)|<\varepsilon$.

Её отрицание означает, что $\exists\varepsilon>0:(\forall\delta>0)\exists x,y:|x-y|<\delta,\ \text{но}\ |f(x)-f(y)|>\varepsilon$.

Хорошо. Фиксируем $\varepsilon=1$. Для любого $\delta>0$ берём $x=b-\delta$. А потом какой угодно $y\in[x;b)$, для которого $|f(x)-f(y)|>1$ (это возможно, т.к. $|f(y)|\to\infty$). Ч.т.д.

[PostPunk]

Приму к сведению.Благодарю.

[--mS--]

ewert в сообщении #436321 писал(а):

Пожалуйста, именно по определению.

"По определению", да ещё и для данной конкретной функции - это другое. Это значит взять её, конкретную, взять определение, и применять его, применять к ней, до победного конца. Что и было проделано. А доказывать некоторое общее утверждение имеет смысл только после того, как работать с такими функциями - с одной, с другой - мы научились. Вот тогда можно и облечь в общее утверждение замеченные "однотипности" в рассуждениях. Вряд ли стоит исходить из того, что умение обобщать падает с неба. Нет, оно приходит из опыта хождений "от частного к общему".

[ewert]

(Оффтоп)

--mS-- в сообщении #436344 писал(а):

взять её, конкретную, взять определение, и применять его, применять к ней, до победного конца.

Мне только одно любопытно. Вот приходят к Вам студенты, и читаете Вы им теорию вероятностей, по порядку: сперва бросаете кубик из двух граней, потом из трёх, из четырёх, из шести, из двадцати восьми, из трёхсот семидесяти пяти... В общем, читаете, бросаете, читаете, бросаете, до победного конца -- пока они не сдадут экзамен и не перейдут на следующий курс. Это понятно. А любопытно вот что: требуется на этот курс семнадцать лет -- или в шашнадцать с половиной укладываетесь?...

[--mS--]

(Оффтоп)

ewert в сообщении #436358 писал(а):

А любопытно вот что: требуется на этот курс семнадцать лет -- или в шашнадцать с половиной укладываетесь?...

Даже в пятнадцать умудряюсь, не поверите!

Вы вот тут шутить изволите, а мне от таких чисел сразу вспоминаются товарищи, которые только на 4-5-6 год сдают предмет Когда наконец бывают в состоянии за общим разглядеть частное, и наоборот