Вопросы по синтаксису Бурбаки

[JMH]

creative в сообщении #434277 писал(а):

Непонятно, как в $\tau_{\boldsymbol{y}}(\boldsymbol{A}_j)=\tau \boldsymbol{A}_j=\boldsymbol{A}_j$ пропадает знак $\tau$. Хотя $\boldsymbol{y}$ не встречается в $\boldsymbol{A}$, но сам знак $\tau$ остается же слева от знакосочетания $\boldsymbol{A}$. Если этот знак не остается, то где в тексте такая договоренность?

Собственно, отсюда (стр. 33):

Цитата:

Обозначим через $\tau_x(A)$ знакосочетание, получаемое следующим образом: мы пишем знакосочетание $\tau A$, соединяем свазью каждый экземпляр буквы $x$ в $A$ со знаком $\tau$, написанным слева от $A$ и заменяем букву $x$, каждый ее экземпляр, символом $\Box$

Это нигде не сказано явно (как всегда у Бурбаки), но символ $\tau$ имеет смысл только тогда, когда $A$ сопдержит $x$, если же $A$ не содержит $x$, то $\tau_x(A)$ эквивалентно $A$.

creative в сообщении #434277 писал(а):

И предположим это действительно так, но всё равно непонятно, мы же доказывали исключительно тождественность $(\boldsymbol{y}|\boldsymbol{x})\tau_{\boldsymbol{z}}(\boldsymbol{A}_j)$ и $\tau_{\boldsymbol{z}}((\boldsymbol{y}|\boldsymbol{x})\boldsymbol{A}_j)$. Но почему-то потом как-то все стало странно с этой сменой буквы. Как я показал выше (после (!!!)) возникает противоречие.

где

creative в сообщении #434202 писал(а):

(!!!) но из этого не следует, что $(\boldsymbol{y}|\boldsymbol{x})\tau_{\boldsymbol{y}}(\boldsymbol{A}_j)$ тождественно $\tau_{\boldsymbol{y}}((\boldsymbol{y}|\boldsymbol{x})\boldsymbol{A}_j)$.

Я подобных утветждений нигде в книге не вижу...

[creative]

JMH в сообщении #434540 писал(а):

Я подобных утветждений нигде в книге не вижу...

Тогда я уже ничего не понимаю. Вот п. 4 "Формативные критерии", CF6:

Цитата:

CF6. Пусть $\boldsymbol{A}_1, \boldsymbol{A}_2, ..., \boldsymbol{A}_n$ - формативная конструкция теории $\mathscr{T}$, а $\boldsymbol{x}$ и $\boldsymbol{y}$ - буквы. Предположим, что $\boldsymbol{y}$ не встречается в этих $\boldsymbol{A}_i$. Тогда $(\boldsymbol{y}|\boldsymbol{x})\boldsymbol{A}_1, (\boldsymbol{y}|\boldsymbol{x})\boldsymbol{A}_2, ..., (\boldsymbol{y}|\boldsymbol{x})\boldsymbol{A}_n$ есть формативная конструкция теории $\mathscr{T}$.
В самом деле, пусть $\boldsymbol{A}_i'$ - знакосочетание $(\boldsymbol{y}|\boldsymbol{x})\boldsymbol{A}_i$.
...
Если, наконец, $\boldsymbol{A}_i$ имеет вид $\tau_{\boldsymbol{z}}(\boldsymbol{A}_j)$, где $\boldsymbol{A}_j$ - знакосочетание второго рода, предшествующее $\boldsymbol{A}_i$ в конструкции, то возможно несколько случаев:

Вот как я понимаю написанное выше:

Нужно доказать, что если $\boldsymbol{A}_1, \boldsymbol{A}_2, ..., \boldsymbol{A}_n$ - формативная конструкция, то $(\boldsymbol{y}|\boldsymbol{x})\boldsymbol{A}_1, (\boldsymbol{y}|\boldsymbol{x})\boldsymbol{A}_2, ..., (\boldsymbol{y}|\boldsymbol{x})\boldsymbol{A}_n$ тоже формативная конструкция, где $\boldsymbol{y}$ не встречается во всех $\boldsymbol{A}_i$.
Далее мы доказываем для всех условий данных на стр. 35 в п. 3 "Формативные конструкции", что если условие выполняется для $\boldsymbol{A}_i$ и $\boldsymbol{A}_j$, то оно выполняется и для $(\boldsymbol{y}|\boldsymbol{x})\boldsymbol{A}_i$, $(\boldsymbol{y}|\boldsymbol{x})\boldsymbol{A}_j$.
Получается, что для условия (г):

Цитата:

г) существует знакосочетание второго рода $\boldsymbol{B}$, предшествующее $\boldsymbol{A}$, и буква $\boldsymbol{x}$, такие, что $\boldsymbol{A}$ есть $\tau_{\boldsymbol{x}}(\boldsymbol{B})$;

То есть в этом случае получается, что если выполнено: $\boldsymbol{A}_i$ есть $\tau_{\boldsymbol{z}}(\boldsymbol{A}_j)$, то должно быть выполнено $(\boldsymbol{y}|\boldsymbol{x})\boldsymbol{A}_i$ есть $\tau_{\boldsymbol{z}}((\boldsymbol{y}|\boldsymbol{x})\boldsymbol{A}_j)$.

А именно $(\boldsymbol{y}|\boldsymbol{x})\tau_{\boldsymbol{z}}(\boldsymbol{A}_j)$ есть $\tau_{\boldsymbol{z}}((\boldsymbol{y}|\boldsymbol{x})\boldsymbol{A}_j)$.

И далее в случае (в) в доказательстве CF6 на стр. 37 $\boldsymbol{z}$ тождественно с $\boldsymbol{y}$, поэтому нужно показать, что $(\boldsymbol{y}|\boldsymbol{x})\tau_{\boldsymbol{y}}(\boldsymbol{A}_j)$ есть $\tau_{\boldsymbol{y}}((\boldsymbol{y}|\boldsymbol{x})\boldsymbol{A}_j)$.
А поскольку $\boldsymbol{y}$ не встречается в любом $\boldsymbol{A}_k$, то по сути нужно показать, что $(\boldsymbol{y}|\boldsymbol{x})\boldsymbol{A}_j$ есть $\tau_{\boldsymbol{y}}((\boldsymbol{y}|\boldsymbol{x})\boldsymbol{A}_j)$, но если $\boldsymbol{x}$ встречается в $\boldsymbol{A}_j$, то $(\boldsymbol{y}|\boldsymbol{x})\boldsymbol{A}_j$ не есть $\tau_{\boldsymbol{y}}((\boldsymbol{y}|\boldsymbol{x})\boldsymbol{A}_j)$. И так мы пришли к противоречию.

[zkutch]

Опять прошу извинить за временное отсутствие - не всегда могу работать с этим форумуом. Так как беседа разделилась на как-бы два русла, то и я разделю свои ответы на три сообщения, чтобы легче было ориентироваться, соответственно хронологии обсуждения. Первое, организационное, это где сейчас и пишу об этом . В втором постараюсь ответить по Мендельсону, в третьем по Бурбакам.

-- Чт апр 14, 2011 19:08:05 --

для Виктор Викторов

Цитата:

Я хочу понять соотношение между термом Бурбаки и термом Мендельсона.

У меня ощущение, что это очень неблагодарная постановка, но давайте разберемся точнее что же вам нужно. Для этого нужно определение термина "высказывание". Вы берете его у Мендельсона? Поправьте меня, пожалуйста, если я ошибаюсь, но этот термин появляется на 19стр. И сразу речь идет об истинности или ложности высказывания и таким образом это не терм. Если этот термин вы взяли у Бурбаков, то с какой страницы?
Вы пишете

Цитата:

Но по Бурбаки получается, что и высказывание... терм

Таким образом, прежде чем продолжать, надо узнать почему вы так думаете.

[Виктор Викторов]

zkutch в сообщении #434790 писал(а):

Цитата:

Я хочу понять соотношение между термом Бурбаки и термом Мендельсона.

У меня ощущение, что это очень неблагодарная постановка, но давайте разберемся точнее что же вам нужно. Для этого нужно определение термина "высказывание". Вы берете его у Мендельсона? Поправьте меня, пожалуйста, если я ошибаюсь, но этот термин появляется на 19стр.

zkutch в сообщении #434790 писал(а):

И сразу речь идет об истинности или ложности высказывания и таким образом это не терм.

Именно так я и думаю. Но..

zkutch в сообщении #434790 писал(а):

Если этот термин вы взяли у Бурбаков, то с какой страницы?

Страница 37 «CF3. Если $A$ - соотношение теории $\mathcal{T}{,}$ а $x$ -буква, то $\tau_x(A)$ есть терм теории $\mathcal{T}{.}$» А как мы вроде выяснили (если я правильно понял) неформально $\tau_x(A)$ - высказывание, полученное из формулы $A$ с помощью связывания свободной переменной квантором. Вот и получается, что высказывание по Бурбаки терм. Я предполагаю, что или, что-то не понимаю, или где-то вру (или естественно в смысле $\vee {).}$

[zkutch]

теперь, как и обещал, по Бурбакам для creative и JMH
рассуждения проводимые creative совершенно верны и JMH вы сами ошибаетесь и вводите его в заблуждение убирая знак $\tau_{\boldsymbol{y}}(\boldsymbol{A}_j)=\tau \boldsymbol{A}_j=\boldsymbol{A}_j$. Без знака $\tau$ знакосочетание $\boldsymbol{A}_j$ второго рода, а с ним первого. Т.е. с $\tau$ это предмет, а без него свойство предмета. И вытекает это именно из 33стр. при определении $\tau_{\boldsymbol{x}}(\boldsymbol{A})$ - судите сами: сперва мы приписываем знак $\tau$, потом уже там что-то с чем-то соединяем. Но если буквы $x$ нет в $A$, то и соединять не с чем, но знак $\tau$ остается слева приписанным. И это существенно для доказательства, как вы увидите внизу.

теперь по доказательству: ну все было прекрасно

Цитата:

$\boldsymbol{z}$ тождественно с $\boldsymbol{y}$; тогда $\tau_{\boldsymbol{y}}(\boldsymbol{A}_j)$ тождественно с $\tau\boldsymbol{A}_j$; следовательно, $(\boldsymbol{y}|\boldsymbol{x})\tau_{\boldsymbol{y}}(\boldsymbol{A}_j)$ тождественно с $(\boldsymbol{y}|\boldsymbol{x})\tau\boldsymbol{A}_j$, а это тождественно $\tau(\boldsymbol{y}|\boldsymbol{x})\boldsymbol{A}_j$, которое можно записать в виде $\tau_{\boldsymbol{u}}((\boldsymbol{y}|\boldsymbol{x})\boldsymbol{A}_j)$, где $\boldsymbol{u}$ - буква, не встречающаяся в $\boldsymbol{A}_j'$;

вы уже все получили и не заметили. Что мы хотим получить? Апелируем на стр.35 к пункту г) определения формативной конструкции. Его то мы и хотим доказать для индекса $i$. Вы же получили, что на $i$-ом месте есть знакосочетание $\tau(y|x)A_{j}$ в то время как перед ним на $j$-ом месте есть знакосочетание $(y|x)A_{j}$. Чего-же не хватает для пункта г) формативной конструкции? Да именно того чтобы на $i$-ом месте было бы именно то знакосочетание, что есть на $j$-ом только подогнанное под $\tau$ но с какой-нибудь буквой. Так идеально подходит такая какая-нибудь буква $u$ , которая не встречается в $(y|x)A_{j}$. И, извините за повторение, смотрите что мы получили: на $j$-ом месте $(y|x)A_{j}$, а после него на $i$-ом месте $\tau_{u}((y|x)A_{j})$ т.е. именно то что нужно, для г) 35стр.

Надеюсь все вам стало ясно и поэтому не коментирую остальное, дожидаясь ваших ответов. Но, разумеется, при вашем желании можем пройтись и по остальным предложениям.

-- Пт апр 15, 2011 00:40:02 --

и теперь, отдельно, опять для Виктор Викторов

Цитата:

А как мы вроде выяснили (если я правильно понял) неформально $\tau_x(A)$ - высказывание, полученное из формулы $A$

вот тут по-моему я понял где вы ошибаетесь, поправьте меня если это я ошибаюсь - вы употребляете термин "высказывание" от себя, его нет в Бурбаках, нету и на 37стр., и вкладываете в него смысл Мендельсона. Но $\tau_x(A)$ это терм полученный из формулы $A$, а не формула.

Думаю, что для нас с вами принципиально понять друг-друга в этом месте, пока продолжим дальше.

[Виктор Викторов]

zkutch в сообщении #434952 писал(а):

Цитата:

А как мы вроде выяснили (если я правильно понял) неформально $\tau_x(A)$ - высказывание, полученное из формулы $A$

вот тут по-моему я понял где вы ошибаетесь, поправьте меня если это я ошибаюсь - вы употребляете термин "высказывание" от себя, его нет в Бурбаках, нету и на 37стр., и вкладываете в него смысл Мендельсона. Но $\tau_x(A)$ это терм полученный из формулы $A$, а не формула.

Думаю, что для нас с вами принципиально понять друг-друга в этом месте, пока продолжим дальше.

Вы правы. Термина «высказывание» в Бурбаках нет. И, конечно, «$\tau_x(A)$ это терм полученный из формулы $A$, а не формула». Но, что такое этот терм неформально? Зачем он? По Вашей наводке мелким шрифтом на стр. 36 читаем: «... если $B$ - утверждение и $x$ - буква, то $\tau_x(B)$ есть предмет; будем рассматривать утверждение $B$ как утверждение, выражающее некоторое свойство предмета $x{,}$ тогда, если существует предмет, обладающий этим свойством, знакосочетание $\tau_x(B)$ изображает привилегированный объект, обладающий этим свойством;» Я понимаю это так, что этот «привилегированный объект» - это что-то типа формулы с квантором (т. е. опять утверждение например, свойство, выполненное для всех) и именно в этом привилегированность объекта. Прав ли я? Если я прав, то в Мендельсоне этому объекту соответствует высказывание и оно не есть терм (это мы уже выяснили), а если я ошибаюсь, то тот же вопрос: Что соответствует терму $\tau_x(B)$ в Мендельсоне?
Я, пожалуй, начинаю понимать, что $\tau_x(B)$ объект и, что написанное мною чушь. Но тогда в чём привилегированность этого объекта и, конечно, остается вопрос что соответствует терму $\tau_x(B)$ в Мендельсоне?

[zkutch]

Виктор Викторов в сообщении #434966 писал(а):

Я понимаю это так, что этот «привилегированный объект» - это что-то типа формулы с квантором (т. е. опять утверждение например, свойство, выполненное для всех) и именно в этом привилегированность объекта

нет, тут вообще нет квантора. В Бурбаках это кванторы строятся с помошью $\tau $ (53стр.), а не наоборот. Сам $\tau_{\text{x}} (B)$ объект специфичен для Бурбаков, вряд ли подобный есть у других авторов, в том числе у Мендельсона, в таком же смысле. А аналогии проводить я все-таки остерегаюсь. Извините, если вы уже читали написанное мной об этом выше несколько раз, но тут просто больше нечего сказать - Бурбаки основываются именно на этом свойстве выбирать объект, один из многих подобных, и объявлять его привелегированным. Обещайте не ловить меня на слове и я очень интуитивно уподобляю его определенного типа константе, но реально константа совсем другое (стр.40).

[Виктор Викторов]

zkutch в сообщении #434981 писал(а):

Бурбаки основываются именно на этом свойстве выбирать объект, один из многих подобных, и объявлять его привелегированным.

zkutch в сообщении #434981 писал(а):

... я очень интуитивно уподобляю его определенного типа константе, но реально константа совсем другое (стр.40).

Огромное спасибо! Кажется, дошло. Понимание у всех одинаковое, а вот тараканы у каждого свои.

(Оффтоп)

zkutch в сообщении #434981 писал(а):

Обещайте не ловить меня на слове ...

Торжественно обещаю и клянусь.

[creative]

zkutch

Вы дали очень хорошее объяснение. Теперь всё проясняется. Но мне надо ещё перечитать CF6, чтобы была уверенность, что в этом месте я точно уверенно понимаю.
Если с CF6 не возникнет дополнительных вопросов, то у меня есть ещё вопросы, которые я опишу тут.

[creative]

zkutch

Непонятно, что доказывается в CF7 ведь в CF6 по сути доказывается тоже самое, так как каждый член формативной конструкции и есть знакосочетание. Чувствую, что я что-то важное упустил.

[zkutch]

creative в сообщении #435978 писал(а):

Непонятно, что доказывается в CF7 ведь в CF6 по сути доказывается тоже самое, так как каждый член формативной конструкции и есть знакосочетание. Чувствую, что я что-то важное упустил.

Наверное вы только привыкаете к стилю Бурбаки, а может быть я не чувствую глубины вашего вопроса, поэтому попробую сперва самый простой ответ - давайте вместе посмотрим на условия: в CF6 речь идет о формативной конструкции общего вида и гарантируется, что после "замены переменной" (буква на букву) она будет опять формативной конструкцией. CF7 уже более конкретнее, тут гарантируется, что формулы перейдут в формулы, а предметы в предметы. И для доказательства тут не обойтись без CF6. И если бы мы решили доказывать прямо CF7, то все равно CF6 был бы одним из шагов нужных доказательству. Так, что это просто этапы уточняющие один другого. И далее CF8, следующий этап, уже говорит о более общей замене (терм на букву).

Если я не смог ответить, пожалуйста, напишите уточняющие вопросы, чтобы я мог лучше понять, что вас волнует.

[Виктор Викторов]

Почему в теории $\mathcal{T}’$ в последнем примере на странице 43 сложение действительных чисел терм? Как это проигрывается по определению терма? С тем, что числовая прямая терм, я примирился.

(Оффтоп)

zkutch в сообщении #431356 писал(а):

Это что-то вроде того как известный экзистенциалист Хайдегер обосновал существование присутствием присутствующего. А чем второе понятнее первого?

У американцев есть такая поговорка: «Если в в лесу треснула ветка и никого при этом не было, то и события не было».

[creative]

zkutch

Извиняюсь за опоздание с вопросом. Занят по работе. Предлагаю дальше в посте не писать символы жирными буквами, так как с тем, что такое символы я уже разобрался, но их написание очень трудоёмко ( чтобы написать $\tau_{\boldsymbol{x}}(\boldsymbol{A})$, я пишу \tau_{\boldsymbol{x}}(\boldsymbol{A}) ).

В самом деле до CF7 в явном виде нигде не доказано, что:

* Eсли $A$ соотношение, то и $(y|x)A$ тоже есть соотношение, а не терм (или ни то, ни другое);
* Eсли $A$ терм, то и $(y|x)A$ тоже есть терм, а не соотношение (или ни то, ни другое);

То есть необходимость доказательства этого факта я осознал. Так же я понимаю, что в CF6 должно доказываться ни больше, ни меньше следующее:

* Eсли $A_1, A_2, ..., A_n$ есть формативная конструкция теории $\mathcal{T}$, то и $(y|x)A_1,(y|x)A_2, ...,(y|x)A_n$ тоже есть формативная конструкция все той же теории $\mathcal{T}$. Другими словами, если для некоторого $A_k$ из этой последовательности выполняется одно из условий данных в п. 3, то ровно это же условие должно выполнятся для $(y|x)A_k$ и так верно для любого $k$ по отношению к последовательности $A_1, A_2, ..., A_n$;

Но если так, то почему тогда в доказательстве CF6 сказано:

Цитата:

Если $A_i$ имеет вид $\neg A_j$, где $A_j$ - знакосочетание второго рода, предшествующее $A_i$ в конструкции, то $A_i'$ тождественно c $\neg A_j'$, согласно CS5, и $A_j'$ есть знакосочетание второго рода.

То, что я не понял отметил подчеркиванием. То есть написано, что если $A_j$, знакосочетание второго рода, то $(y|x)A_j$ есть знакосочетание второго рода. Но это же доказывается только дальше, а именно в CS7.
Тогда получается, что CF6 неявно опирается на то, что должно доказываться в CF7, а CF7 опирается на CF6. То есть получается, что CF6 и CF7 некорректны.
Я посмотрел это же предложение в английском переводе и во французском оригинале, написано так же.
Что я упускаю из вида?

Виктор Викторов

Под термом у них понимается, то что не есть формула (если говорить максимально обобщенно). А формула есть интуитивно утверждение, которое может быть либо истинным, либо ложным. Например, (отвлекаясь от терминов Бурбаки) просто $2 + 2$ ни истинно и не ложно, а $2 + 2 = 5$ ложно.

[Виктор Викторов]

creative в сообщении #436965 писал(а):

Под термом у них понимается, то что не есть формула (если говорить максимально обобщенно). А формула есть интуитивно утверждение, которое может быть либо истинным, либо ложным. Например, (отвлекаясь от терминов Бурбаки) просто $2 + 2$ ни истинно и не ложно, а $2 + 2 = 5$ ложно.

Мне выдали определение, что такое терм, и я хочу увидеть, как именно из определения получается, что сложение терм. Сложение двух действительных чисел это функция (каждым двум действительным числам сопоставлено некоторое действительное число...). Максимум, моего видения -- функция – это множество, а множество – это уже терм.

[zkutch]

И вы меня извините, занятость по работе(ам) мне очень понятна, столько идиотизмов и на стольких фронтах, что жизнь страННой кажется.
Но, поплакались и к делу, опять в хронологическом порядке вопросов:
для Виктор Викторов
фактически вы сами и дошли до ответа. Я могу, наверное, только сэкономить вам время и назвать следующие страницы: на 82стр. субстантивный знак пары с помощью которого на 86стр. строится терм "соответствие" и далее 90стр. "функция". И для полного счастья определение суммы двух кардинальных чисел 192стр.

для creative

Цитата:

если $A_j$, знакосочетание второго рода, то $(y|x)A_j$ есть знакосочетание второго рода. Но это же доказывается только дальше, а именно в CS7.

Нет, там доказывается, что это соотношение.
И более подробно: чтобы знакосочетание второго рода было соотношением нужно чтобы оно встречалось в формативной конструкции (35стр.). Не пропустите абзац на стр.36 прямо перед 4-м пунктом - там, дополнительно к определению, расписанно, что нужно, чтобы быть соотношением.