Что почитать про лагранжеву механику?

[Evgueni]

Коткин Г.Л., Сербо В.Г., Черных А.И. Лекции по аналитической механике

[Kitozavr]

Munin в сообщении #435363 писал(а):

Если безучастно смотреть на такие переворачивающие картину мира тезисы, это скорее всего значит отсутствие понимания...

Так я же классическую механику читал, не квантовую и не релятивисткую. Последние две и вправду сначала очень шокируют.

[Munin]

И вас в классической механике ничего не шокировало? Ни эквивалентность вариационной задачи и задачи Коши, ни природа сохраняющихся величин? Кем же вы были до начала изучения...

[Kallikanzarid]

В гамильтоновой сохраняющиеся величины чуток более красиво вводятся, и заодно исчезает необходимость искать группы симметрий и считать их алгебры Ли.

[Oleg Zubelevich]

Munin в сообщении #435574 писал(а):

эквивалентность вариационной задачи и задачи Коши

это в каком смысле?

[Morkonwen]

Kallikanzarid в сообщении #435582 писал(а):

В гамильтоновой сохраняющиеся величины чуток более красиво вводятся, и заодно исчезает необходимость искать группы симметрий и считать их алгебры Ли.

Никогда такого не делал и в Лагранжевой, о чем это вы=)?

[Kallikanzarid]

Там чтобы найти сохраняющуюся величину, нужно сначала найти группу симметрии конфигурационного пространства, относительно которой лагранжиан инвариантен, а затем вычислить сохраняемую величину с помощью трюка, который я пока не понимаю, как выразить строго в терминах групп и алгебр Ли, но похоже, что там надо считать либо только касательное пространство в точке, либо еще и экспоненту.

[Morkonwen]

Я не очень понял о чем вы, но поиск симметрий действительно есть в Лагранжевой. Поскольку преобразования координат там могут быть только в координаты же, то это поиск симметрии всей системы в пространстве. Например поле гравитации точки симметрично по вращению вокруг этой точки. Выгодно ввести одну из координат -угол. Тогда лагранжиан не будет от этого угла зависить и общий импульс связанный с этим углом будет сохранятся. Но это всегда просто сделать без теории групп!

Другое дело Гамильтонова механика. там координаты могут пробразовываться в комбинацию импульсов и координат, которые условно называют новыми "импульсами" и "координатами" вот там найти подходящие симметрии уже трудно и видимо применяется то, о чем вы сказали.

Но есть мощный способ искать сохраняющиеся величины - уравнения Гамильтона-Якоби по сути это поиск преобразования при котором все новые величины сохраняются(а гамильтониан равен нулю).

Я слышал где-то что как раз Гамильтонова механика изучает структуры с алгеброй Ли или что то вроде того, но я не знаю что это значит. Если объясните скажу спасибо =)!

[Kallikanzarid]

В случае гамильторова формализма для каждой величины $A(p,q)$ выполняется соотношение $\{A, H\} = \dot{A}$, так что если не непосредственный поиск, то хотя бы проверка сохранения величины становится простой.

Что касается алгебры Ли, то ИМХО имеется ввиду то, что скобка Пуассона в алгебре Пуассона является скобкой Ли. В гамильтоновой механике структурой алгебры Пуассона естественным образом наделяется пространство гладких функций на фазовом пространстве. Может, имеется ввиду что-то другое, я сам чайник :)

[Morkonwen]

А какие основные полезные теоремы в теории алгебр Ли?

[Munin]

Morkonwen в сообщении #435773 писал(а):

Я не очень понял о чем вы, но поиск симметрий действительно есть в Лагранжевой. Поскольку преобразования координат там могут быть только в координаты же, то это поиск симметрии всей системы в пространстве.

Я так понимаю, это всё работает только для голономных связей, так?

Kallikanzarid в сообщении #435822 писал(а):

так что если не непосредственный поиск, то хотя бы проверка сохранения величины становится простой.

Да вроде, и поиск простой: достаточно перечислить направления, в которых гамильтониан постоянен. Или нет? Или речь о глобальной формулировке?

[Kallikanzarid]

Kallikanzarid в сообщении #435822 писал(а):

так что если не непосредственный поиск, то хотя бы проверка сохранения величины становится простой.

Да вроде, и поиск простой: достаточно перечислить направления, в которых гамильтониан постоянен. Или нет? Или речь о глобальной формулировке?[/quote]
А как это поможет найти сохраняемые величины?

[Munin]

Я сказал глупость, извините. Честно говоря, всё это из головы выветрилось. Надо повторить.

[Morkonwen]

Munin в сообщении #435900 писал(а):

Я так понимаю, это всё работает только для голономных связей, так?

В случае неголономных связей нельзя даже лагранжиан корректно составить.Координаты не будут независимы и их не сделать независимыми. Импульсы могут появлятся несмотря на симметрию.

Например шар катящийся по плоскости без проскальзывания. если на него подействет момент, то цм начнет двигаться, и наоборот если на него подействует сила, то появится момент вращения. И от этой связи никак не избавится

-- Вс апр 17, 2011 19:54:54 --

Munin в сообщении #435937 писал(а):

Я сказал глупость, извините. Честно говоря, всё это из головы выветрилось. Надо повторить.

Да все верно, направления в которых гамильтониан не меняется соответствуют сохраняющимся величинам. Если например гамильтониан не зависит от какой то координаты ${\phi}$, то$p_{\phi}'=-\frac{\delta H}{\delta \phi}=0$ а значит $p_{\phi}=const$

[Munin]

Надо же, стало быть, не глупость. Ну, значит, во второй раз был глуп... :-)