Вопрос: Насколько быстро?

[bundos]

Дан ряд: $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n\ln n}$. Насколько быстро он стремится к $\infty$, если $x\to 1-$, т.е. нужно найти такую $f(x)$, чтобы $\lim\limits_{x\to 1-}f(x)\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n\ln n}=1$. Подскажите пожалуйста, как такое решать?

[Vince Diesel]

Можно попробовать делить ряд на две примерно равные части.

[bundos]

Это как?

[bot]

Начинать суммирование с единицы нельзя - можно с 2.

Действуя по образцу доказательства интегрального признака, получим $f(x)=\left(\int\limits_2^{+\infty}\frac{x^t dt}{t\ln t}\right)^{-1}$

[bundos]

Да, с единицы то нельзя , виноват, опечатался

-- Пт апр 15, 2011 22:06:39 --

bot
А $\lim\limits_{x\to 1-}\left[\sum\limits_{n=2}^{\infty}\frac{x^n}{n\ln n}-\int\limits_2^{+\infty}\frac{x^t dt}{t\ln t}\right]\neq 0$? А вообще как такой проинтегрировать? Ну или хотбы асимптотику найти? По частям его?

[bundos]

Не получается по частям, подскажите, может тут как-то по другому надо?

[Полосин]

Сначала с помощью двусторонних оценок докажите, что ряд можно заменить интегралом, который указал bot. Затем в интеграле сделайте замену $s=yt$, где $y=-\ln x$, выделите главную часть в виде $\int\limits_{2y}^1\dfrac{ds}{s\ln(s/y)}$ и покажите, что последний интеграл эквивалентен $\ln\ln(1/y)$, причем $y$ эквивалентно $1-x$.

[Null]

$\sum\limits_{n=27}^{\infty}\frac{x^n}{n\ln n\ln\ln n}$ эквивалентно $\ln \ln \ln (\frac{1}{1-x})$???