Посчитать площадь треугольника с помощью матрицы

[jrMTH]

Вот есть координаты: (3, -11), (-11, 4), (18, 13)
Как посчитать площадь треугольника через матрицу (детерминант) в данном случае?
Не могу понять теорию.
Спасибо.

[Tlalok]

Что именно Вам не понятно?

[mihailm]

про векторное произведение слышали?

[gris]

Теорию можно и полезно вывести самому.
Начать с площади параллелограмма, натянутого на два вектора. Площадь вначале посчитать чисто геометрически как произведение основания на высоту и выразить всё через координаты векторов. Подумать об ориентированной площади. "Упаковать" формулу в детерминант второго порядка.
Затем посмотреть, как координаты векторов получаются из координат точек.
Наконец, представить, из какого детерминанта третьего порядка может получиться найденный детерминант второго порядка.
Ну а площадь треугольника равна половине площади соответствующего параллелограмма.
А потом посмотреть, как эти формулы выводятся в учебнике и похвастаться, что у Вас короче и понятнее.

[VAL]

А еще можно забыть не только про векторное произведение, но даже про вектора.

Впишите Ваш треугольник в прямоугольник, стороны которого параллельны координатным осям. Площадь этого прямоугольника, очевидно, равна $(x_3-x_2)(y_3-y_1)$. Остается вычесть площади трех прямоугольных треугольников. Площадь первого равна $\frac12(x_3-x_1)(y_3-y_1)$. И т.д. После приведения подобных неожиданно обнаружится, что у Вас с точностью до знака получилось разложение детерминанта

$$\frac12\left|\begin{array}{ccc}1&1&1\\x_1&x_2&x_3\\y_1&y_2&y_3\end{array}\right|$$

[ewert]

VAL в сообщении #435746 писал(а):

Остается вычесть площади трех прямоугольных треугольников.

Во-первых, тут есть некоторый элемент жульничества: а что, если вершины расположены иначе?... Но это я так, ладно.

Во-вторых, если уж выводить по-сермяжному, то всё гораздо проще. Проводим горизонтальную линию из средней по высоте вершины, рассекающую треугольник на два треугольничка -- верхний и нижний. Высоты этих треугольничков нам известны. А общее основание легко находится, скажем, из уравнения той стороны большого треугольника, в которую оно (основание) упирается; ну или, что то же, можно найти горизонтальную координату точки искомой точки пересечения из пропорции, определяемой известными вертикальными координатами трёх точек. И единственный нетривиальный момент во всём этом (при любом подходе) -- это угадать в полученном простеньком выражении тот самый определитель.

[VAL]

ewert в сообщении #435766 писал(а):

VAL в сообщении #435746 писал(а):

Остается вычесть площади трех прямоугольных треугольников.

Во-первых, тут есть некоторый элемент жульничества:

На "некий фокус" согласен. На "жульничество" - нет.

Цитата:

а что, если вершины расположены иначе?...

Все равно получится определитель. Правда, случаи перебирать долго.

Цитата:

Во-вторых, если уж выводить по-сермяжному, то всё гораздо проще. Проводим горизонтальную линию из средней по высоте вершины, рассекающую треугольник на два треугольничка -- верхний и нижний...

Можно и так.

[mihailm]

Еще можно предложить формулу Пика)) правда там определителей нет

[nnosipov]

Вот простой практический способ. Нарисуем на клетчатой бумаге параллелограмм в два раза большей площади. Вырежем его, а затем разрежем его по линиям сетки на мелкие кусочки. А потом будем собирать пазл в виде какого-нибудь прямоугольника. Собравши, посчитаем его площадь по всем известной школьной формуле. Вот и всё. И никаких определителей. Зачем они вообще нужны?

[ewert]

nnosipov в сообщении #435972 писал(а):

И никаких определителей. Зачем они вообще нужны?

Они нужны просто по условию задачи. Автору, если я правильно понял, начальство приказало: кровь из носу -- но чтоб через определители. А с начальством не спорят. Если у того начальства для своих бздыков есть хоть какие-то основания; а тут -- в общем, да, хоть какие-то, но есть.

А вот пазлствовать в ситуации, когда есть шаблонные и при том вполне прозрачные подходы -- на мой взгляд, не вполне хорошо.

[nnosipov]

ewert в сообщении #436117 писал(а):

А вот пазлствовать в ситуации, когда есть шаблонные и при том вполне прозрачные подходы -- на мой взгляд, не вполне хорошо.

Да это шутка была. А определители пусть учит, вдруг да пригодятся.