Теорема Коши-Пикара

[Nerazumovskiy]

Помогите найти доказательство теоремы Коши-Пикара о существовании и единственности решения задачи Коши, с использованием оператора сжатия, и теоремы Банаха о неподвижной точке.
В каком из учебников есть это доказательство?

P.S.
Легко ищется это доказательство, а вот то что нужно найти не могу.

[ewert]

Nerazumovskiy в сообщении #435605 писал(а):

доказательство теоремы Коши-Пикара о существовании и единственности решения задачи Коши, с использованием оператора сжатия,

Я не знаю, какая в точности формулировка теоремы имеется в виду. Если та, что по Вашей ссылке (когда утверждается существование решения на всём заданном промежутке за счёт равномерной липшицевости по всем вообще иксам), то этот вариант теоремы с помощью "оператора сжатия" доказать не удастся. Потому, что в этом варианте интегральный оператор просто-напросто не будет сжимающим. Тут игра строится на другом: этот оператор -- вольтерровского типа и потому последовательность приближений сходится независимо от сжимаемости или нет оператора -- достаточно того, что итерированные его ядра без особого труда оцениваются.

Сжимаемость интегрального оператора явно используется в другом варианте этой теоремы -- гораздо более простом, но при этом и более идейном. В этом, другом варианте утверждается существование решения лишь на некотором, вообще говоря, более узком промежутке, но зато и условия на правую часть накладываются гораздо более слабые -- и непрерывность, и липшицевость правой части ДУ требуются лишь локальные.

[Хорхе]

Нет-нет, всё получается.

Проще написать, чем найти (возможно, в учебнике Дороговцева есть в соответствующем разделе).

Задача Коши эквивалентна интегральному уравнению

$$ x(t) = x_0+\int_0^t f(s,x(s))ds =: (F(x))(t). $$

Легко убедиться, что $\|F(x)-F(y)\|_{C[0,a]} \le a K\|x-y\|_{C[0,a]}$, где норма равномерная, а $K$ -- постоянная Липшица для $f$. Поэтому для любого $a<1/K$ можем применить теорему Банаха. Ну а дальше рассмотрим отрезки $[a,2a],[2a,3a],\dots$ и всё.

[ewert]

Хорхе в сообщении #435619 писал(а):

Легко убедиться, что $\|F(x)-F(y)\|_{C[0,a]} \le a K\|x-y\|_{C[0,a]}$, где норма равномерная, а $K$ -- постоянная Липшица для $f$.

Ну я примерно это и имел в виду, когда говорил о втором варианте теоремы. Просто условия первой теоремы -- той, что по ссылке -- показались мне несколько странными. Глобальная равномерная липшицевость -- уж больно специфический случай (если не говорить, конечно, специально о линейных уравнениях).

[Nerazumovskiy]

Спасибо в Дороговцеве нашел все что надо.

Хорхе в сообщении #435619 писал(а):

Ну а дальше рассмотрим отрезки $[a,2a],[2a,3a],\dots$ и всё.

Получается что зная $L$ мы даже указываем количество локальных решений на нашем множестве?

[Хорхе]

Количество чего? То ли я не понял вопроса, то ли его нельзя понять. Локальные решения не считают, если что. К тому же они составляют глобальное.