Аналитическая функция

[RIP]

Пусть функция $f(z)$ голоморфна в круге $B_1=\{z\in\mathbb{C}\mid|z|<1\}$ и $f(B_1)\subset B_1$. Докажите, что для любых комплексных $a$ и $b$

$$|af(0)+bf'(0)|\leqslant\sqrt{|a|^2+|b|^2}.$$

[Brukvalub]

Очень похоже на неравенство Коши-Буняковского-Шварца-.... Так и тянет доказать, что у голоморфной функции $f(z)$, отображающей единичный круг $B_1=\{z\in\mathbb{C}\mid|z|<1\}$ в себя выполнено неравенство

$$|f(0)|^2+|f'(0)|^2\leqslant\ 1.$$

или, иначе говоря, сумма квадратов модулей двух первых коэффициентов ее разложения в степенной ряд с центром в нуле не превосходит 1

[RIP]

Пусть $f(z)$ такая же. Пусть $f(0)=\alpha\in(0;1)$. Докажите, что $f(z)$ не имеет нулей в круге $\{z\in\mathbb{C}\mid|z|<\alpha\}$.

[RIP]

Докажите, что для любой функции $f(z)\ne0$, регулярной при $|z|\le1$, выполнено неравенство

$$\left|\int_0^1f(x^2)\,dx\right|<\frac\pi2\int_0^1|f(e^{2\pi i\phi})|\,d\phi,$$

причём постоянная $\pi/2$ неулучшаема.

[Хорхе]

RIP писал(а):

Пусть $f(z)$ такая же. Пусть $f(0)=\alpha\in(0;1)$. Докажите, что $f(z)$ не имеет нулей в круге $\{z\in\mathbb{C}\mid|z|<\alpha\}$.

Пусть $f(\beta) = 0$. Положим, как обычно, $g(z) = (z+\beta)/(1+\overline{\beta}z)$. Тогда по лемме Шварца $|f(g(z))|\le |z|$, в частности, $|f(0)|\le|-\beta|=|\beta|$.

Добавлено спустя 5 минут 1 секунду:

RIP писал(а):

Пусть функция $f(z)$ голоморфна в круге $B_1=\{z\in\mathbb{C}\mid|z|<1\}$ и $f(B_1)\subset B_1$. Докажите, что для любых комплексных $a$ и $b$

$$|af(0)+bf'(0)|\leqslant\sqrt{|a|^2+|b|^2}.$$

Как обычно, положим $h(z) = (z-\alpha)/(1-\overline{\alpha}z)$, где $\alpha = f(0)$, $g(z) = h(f(z))$. По лемме Шварца $|g'(0)|\le 1$, откуда $|\alpha|^2 + |f'(0)|^2\le 1$.

[kio]

RIP писал(а):

Докажите, что для любой функции $f(z)\ne0$, регулярной при $|z|\le1$, выполнено неравенство

$$\left|\int_0^1f(x^2)\,dx\right|<\frac\pi2\int_0^1|f(e^{2\pi i\phi})|\,d\phi,$$

причём постоянная $\pi/2$ неулучшаема.

Пусть $\gamma$ -- часть единичной окружности в верхней полуплоскости. Тогда проинтегрировав аналитическую внутри замкнутого контура $[-1,1]\cup\gamma$ функцию $f(z^2),$ получим

$$ \int\limits_{0}^{1}f(x^2)\,dx+i\int\limits_{0}^{\pi}f(e^{2i\varphi})e^{i\varphi}\,d\varphi+\int\limits_{-1}^{0}f(x^2)\,dx=0. $$

Сделав в двух последних интегралах линейные замены, получим неравенство

$$ \left|\int_0^1f(x^2)\,dx\right|\leqslant\frac\pi2\int_0^1|f(e^{2\pi i\phi})|\,d\phi $$

Кто подскажет, как здесь получить строгое неравенство?

[Хорхе]

kio писал(а):

Кто подскажет, как здесь получить строгое неравенство?

Я думаю, Вы и сами догадываетесь. Равенство может быть только тогда, когда $f(e^{2i\varphi})e^{i\varphi}, \varphi \in[0,\pi]$ имеет постоянный аргумент, чего быть не может.