Найти объем тела ограниченного поверхностями

[NeBotan]

День добрый.

Туплю над такой задачей: Найти объем тела, ограниченного заданными поверхностями (сделать схематический чертеж):
$z^2=x^2+y^2, \;\; z=30-x^2-y^2$.

Первая поверхность это конус. А вот что за поверхность получается из второго уравнения, я че-то не нашел(((

Потом надо будет найти точки пересечения этих поверхностей. Как найти границы переменной z я вроде понял: подставляем из первого уравнения $x^2+y^2$ как $z^2$ и получаем квадратное уравнение относительно z: $z^2+z-30=0$. А вот как найти границы интегрирования для x, y -? по идеи вроде как надо перейти к цилиндрическим координатам и считать объем от интеграла уже в них.

[mihailm]

Прежде чем что-то находить сделайте чертеж
второе уравнение задает поверхность второго порядка посмотрите на их классификацию внимательно и выберите подходящую

[ewert]

NeBotan в сообщении #435412 писал(а):

А вот как найти границы интегрирования для x, y -?

Ваши две поверхности пересекаются по некоторой пространственной линии. Эта линия задаётся формально системой из двух уравнений этих поверхностей. Вам нужна проекция этой линии на плоскость $XOY$, которая будет служить границей области "внешнего" двойного интегрирования по $dx\,dy$. Для получения уравнения проекции линии на координатную плоскость надо исключить из той системы третью переменную, в данном случае $z$. Именно исключить, а не найти -- само по себе значение $z$ нам не нужно; хотя технически в данном случае для исключения действительно проще $z$ предварительно найти.

Ну а что до перехода к цилиндрическим координатам -- это уж в самом конце: сперва запишите интеграл в декартовых как $\iint\limits_{D_{xy}}dx\,dy\int dz$, а потом во внешнем двойном интеграле будет действительно напрашиваться переход к полярным координатам.

[NeBotan]

Немного выпив, трезво рассудил и вот что у меня получилось.

Второе уравнение описывает эллиптический параболоид, который пересекается с конусом при $z=5$. Подставив эту 5ку в первое уравнение, я получаю, что линия пересечения двух поверхностей есть окружность с радиусом 5. Значит, переменные х и у меняются от -5 до 5. Далее перехожу к интегралу. В учебнике объем тела считается по формуле

$V=\int\int_D f(x,y)fdxdy$

Значит, в моем случае, этот интеграл примет вид:

$V=\int\int_D (z_2-z_1)dxdy=\int\int_D (30-x^2-y^2-\sqrt{x^2-y^2})dxdy$

Тут переходим к цилиндрическим координатам и получаем следующее:
$V=\int_0^{2 \pi}d\phi \int_0^5 (30-r^2-r)rdrd \phi$

НУ а дальше тупо посчитать интеграл. Правильно?

[ИСН]

Вроде да.

[NeBotan]

понял.Всем спасибо за участие!

[ewert]

Так, но маленько попридираюсь. Там две ограниченных области имеют своими границами эти поверхности. И если условие в стартовом посте полное, т.е. если никаких дополнительных оговорок в нём не было, то это -- объём лишь одной из тех двух областей...

[ИСН]

Ах да. Ещё песочные часы.

[mihailm]

ИСН в сообщении #435454 писал(а):

Ах да. Ещё песочные часы.

(Оффтоп)

Форма для песочных часов